Integración sobre ángulo sólido

Question

Necesito integrar esta expresión:

$$\int^{\pi}_0\frac{\gamma^{10} \theta^2 \sin\theta}{(\gamma^2 \theta^2 + 1)^5} d\theta.$$

Puedo utilizar el hecho de que gamma es muy grande, lo que creo que significa que debo reorganizar la línea inferior para permitir una expansión, es decir. $$\int^{\pi}_0\frac{\theta^2 \sin\theta}{(\theta^2 + \dfrac{1}{\gamma^2})^5}d\theta ,$$

pero aún no estoy seguro de cómo continuar a partir de aquí. Cualquier sugerencia sería genial, gracias.

Answer 1

Como no está claro si tener el más grande o el más pequeño $\gamma$ expansión de la integral $$I(\gamma)= \int^{\pi}_0\frac{\gamma^{10} \theta^2 \sin\theta}{(\gamma^2 \theta^2 + 1)^5} d\theta,$$ Proporcionaré ambas cosas.

Para grandes $\gamma$ observamos que la integral está dominada para $\theta \approx \gamma^{-1}$ . Por eso podemos esperar que se amplíe la $\sin$ función. Demostraremos más adelante que esto es realmente admisible cuando veamos que los términos sucesivos son más pequeños cuando $\gamma\to\infty$ (la ampliación será un expansión asintótica ). La sustitución $x= \gamma\theta$ produce $$I(\gamma) = \gamma^{7} \int_0^{\pi \gamma} \frac{x^2 \sin(x/\gamma)}{(1+x^2)^5} dx \sim \gamma^{6} \int_0^\infty \frac{x^3}{(1+x^2)^5} dx + O(\gamma^5).$$ Aquí, hemos utilizado que cada término en la expansión de $\sin$ proporciona un $\gamma^{-1}$ y que la integral está dominada para $x\approx 1$ de forma que podamos poner el límite de integración en $\infty$ . La integral restante es un número que puede evaluarse en $1/24$ . En total tenemos $$I(\gamma) \sim \frac{\gamma^6}{24}.$$

Para los pequeños $\gamma$ podemos obtener una serie convergente expandiendo el integrando en una serie de Taylor. El primer término de la expansión es $$I(\gamma) = \gamma^{10} \int_0^\pi \theta^2 \sin \theta d\theta + O(\gamma^{11}) = (\pi^2 -4) \gamma^{10} + O(\gamma^{11}).$$

Conociendo las dos asintóticas, podemos (más o menos) dibujar un gráfico de la función. Comienza como $(\pi^2 -4) \gamma^{10}$ y luego se convierte en $\gamma^6/24$ . La región de cruce es para $\gamma \approx 1$ . Con este espíritu, espero $$I(\gamma) \approx \frac{\gamma^{10}}{(\pi^2-4)^{-1} + 24 \gamma^4}$$ para ser una buena aproximación razonable a la integral inicial.