Demostraré que si $G_D$ tiene número cromático $k$ entonces $D$ tiene una densidad de Banach superior a lo sumo $(k-1)/k$ .
Supongamos $G_D$ tiene número cromático $k$ . Sea $\mathbb{N}$ dividirse en $P_1,\ldots,P_k$ donde cada $P_i$ es independiente de $G_D$ . Sin pérdida de generalidad, $P:=P_1$ tiene una densidad de Banach superior de al menos $1/k$ . Sea $Q=\{|x-y|:x,y\in P\text{ are distinct}\}$ . Entonces $Q\subseteq \mathbb{N}^+\backslash D$ desde $P$ es $G_D$ -independiente. Afirmamos que $Q$ tiene una densidad de Banach inferior al menos $1/k$ lo que implica el resultado deseado para $D$ .
(La prueba de la afirmación es una adaptación del lema de cobertura de Ruzsa y/o el conocido hecho de que si un conjunto $A$ de enteros tiene densidad de Banach superior positiva, entonces $A-A$ es sindetico).
Llamar a un conjunto $X\subset\mathbb{N}$ $P$ -separar si $(x+P)\cap (y+P)=\emptyset$ para todos los $x,y\in X$ . Desde $P$ tiene una densidad de Banach superior de al menos $1/k$ se deduce que cualquier $P$ -subconjunto de $\mathbb{N}$ tiene un tamaño máximo de $k$ . Así que podemos elegir un $P$ -conjunto de separación $X$ de tamaño máximo. Ahora fije $a\in\mathbb{N}^+$ tal que $a>\max X$ . Por maximalidad, existe algún $x\in X$ tal que $(a+P)\cap (x+P)\neq\emptyset$ . Así que hay $p,q\in P$ tal que $a+p=x+q$ . Desde $a>x$ se deduce que $a\in x+Q$ .
En total, hemos demostrado que $X+Q$ es cofinito en $\mathbb{N}^+$ . Desde $|X|\leq k$ se deduce que $Q$ tiene una densidad de Banach inferior al menos $1/k$ .
Observación. La prueba demuestra que si $G_D$ tiene número cromático $k$ entonces hay $k$ traduce el complemento de $D$ cuya unión es cofinita en $\mathbb{N}^+$ que supongo que es más fuerte que decir $D$ tiene una densidad de Banach superior a lo sumo $(k-1)/k$ .
