Sea $P(t,x)\in\mathbb Q[t,x]$ sea irreducible con grupo de Galois $G$ en $\mathbb Q(t)$ . Se sabe que si $t_0\in\mathbb Q$ es tal que $P(t_0,x)$ es separable, entonces el grupo de Galois de este polinomio especializado es isomorfo a un subgrupo de $G$ . ¿Es esto cierto también si $P(t_0,x)$ no es separable? No he sido capaz de encontrar una prueba o un contraejemplo.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hay algo un poco engañoso en la formulación de esta pregunta. Dado un polinomio $P(t,x)$ se tiene no sólo un grupo de Galois $G$ sino una acción natural de $G$ en $d = \mathrm{deg}(P)$ puntos bien definidos hasta la conjugación. Dada una especialización separable $P(t_0,x)$ es cierto que el grupo de Galois $H$ de esta especialización es isomorfo (abstractamente) a un subgrupo de $G$ pero es también cierto que hay una inclusión $H \rightarrow G$ tal que la acción de $H$ en el $d$ raíces de $P(t_0,x)$ es la restricción de la representación de permutación dada de $G$ . En $P(t_0,x)$ no es separable, el grupo de Galois $H$ ya no tiene ninguna acción evidente sobre $d$ puntos, por lo que uno debe conformarse con su formulación más débil de que simplemente existe una inclusión abstracta de $H$ à $G$ .
Aun así, la respuesta a esta formulación más débil sigue siendo no. La forma más fácil de construir un contraejemplo es considerar cubiertas isotriviales. Sea $K/\mathbf{Q}$ sea cualquier campo de grado $d$ con grupo de Galois $G$ . Sea $\theta \in K$ sea un elemento primitivo. Sea $\alpha \in K$ ser cualquier elemento. Consideremos ahora el polinomio mínimo de $t \theta + \alpha$ en $\mathbf{Q}(t)$ . Esto definirá un grado $d$ polinomio $P(t,x)$ . Para una especialización genérica $t = t_0 \in \mathbf{Q}$ el elemento $t_0 \theta + \alpha \in K$ también será una raíz primitiva, por lo que el grupo de Galois será $G$ . Pero la especialización en $t = 0$ tendrá $\alpha$ como raíz. De hecho, el polinomio correspondiente será una potencia del polinomio mínimo de $\alpha$ . Así que su reclamación es ahora la siguiente: si $H$ es el grupo de Galois del campo de división del polinomio mínimo de $\alpha$ entonces $H$ es un subgrupo de $G$ . Pero esto es absurdo --- por la teoría de Galois, $H$ es transparentemente un cociente de $G$ . Así pues, basta con considerar un ejemplo de un par $(G,H)$ con $H$ un cociente de $G$ para que $H$ no es un subgrupo de $G$ . Esto no ocurre con los grupos $G$ de orden extremadamente bajo que tal vez indiquen por qué no ha podido encontrar un contraejemplo. Quizá el ejemplo más sencillo sea $G = \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_3)$ que actúa fielmente sobre $8$ puntos, y es una extensión central de $\mathrm{PGL}_2(\mathbf{F}_3) = S_4$ . Si $S_4$ era un subgrupo de $G$ tendría que ser normal, pero entonces $S_4$ no tiene automorfismos, así que como $Z(S_4)$ es trivial esto obligaría a $G$ ser $S_4 \times \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ y no lo es. Por lo tanto, la respuesta es no.
Si lo desea, también puede escribir fácilmente un ejemplo explícito. Primero escriba un $G$ -extensión (digamos que procede del $y$ -coordenada del $3$ -torsión de la curva elíptica $y^2 = x^3 + x + 1$ )
$$K = \mathbf{Q}[\theta]/(961 - 558\theta^4 - 216 \theta^6 - 27 \theta^8),$$
que tiene cierre de Galois con grupo de Galois $G = \mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_3)$ , y dejemos que $\alpha = \theta^2$ cuyo cierre de Galois tiene grupo de Galois $S_4$ . Entonces $P(t,x)$ sea el polinomio mínimo de $\alpha + t \theta$ que es:
$$923521 - 536238*t^4 - 207576*t^6 - 25947*t^8 - 2144952*t^2*x - 1245456*t^4*x - 207576*t^6*x - 1072476*x^2 - 1868184*t^2*x^2 - 518940*t^4*x^2 - 415152*x^3 - 415152*t^2*x^3 + 259470*x^4 + 120528*t^2*x^4 + 15066*t^4*x^4 + 241056*x^5 + 60264*t^2*x^5 + 76788*x^6 + 5832*t^2*x^6 + 11664*x^7 + 729*x^8$$
Entonces $P(t,x)$ tiene grupo de Galois $G$ pero $P(0,x) = (27x^4 + 216x^3 + 558x^2 - 961)^2$ tiene grupo de Galois $S_4$ .
