Dispersión potencial de barrera cuando la energía de la partícula es igual a la altura de la barrera

Question

¿Qué ocurre si tenemos $E=V$ donde $E$ es la energía de una partícula entrante y $V$ ¿es la altura de una barrera de potencial cuadrada? Esta página wiki en realidad da una probabilidad de transmisión finita para este caso. Pero, ¿cómo es la función de onda en la región de barrera?

E

Acabo de darme cuenta de que el caso de la barrera potencial se puede resolver fácilmente y se puede calcular que la transmisión es la que aparece en la wiki. Sin embargo, las cosas son ligeramente diferentes si tenemos un potencial escalón en el origen en lugar de una barrera cuadrada. Aunque un potencial escalón no es más que una barrera cuadrada de anchura infinita, analizamos la situación por separado.

Si nos fijamos en la ecuación de Schroedinger para la región de barrera, que va de 0 a $\infty$ entonces tenemos $$\psi''(x)=0$$ lo que significa $\psi(x)=ax+b$ donde $a$ y $b$ son constantes indeterminadas. Supongamos que para la región sin barrera, la función de onda viene dada por $e^{ikx}+re^{-ikx}$ donde $r$ es el coeficiente de reflexión. Entonces, después de igualar las condiciones de contorno, tenemos $1+r=b$ y $1-r=-ia/k$ .

Si exigimos que la función de onda no se infle por el lado del potencial, entonces debemos tener $a=0$ y en consecuencia tenemos $r=1$ y $b=2$ lo que significa que aunque se refleje toda la función de onda en la región potencial es una función constante distinta de cero.

Entonces, ¿cómo explicar esta peculiaridad? ¿Se debe a que la transmisión no está necesariamente relacionada con la densidad de probabilidad?

Answer 1

Como has adivinado, la densidad de probabilidad no es la misma que la de transmisión. Para que la transmisión sea distinta de cero tiene que haber un gradiente distinto de cero: $$j=\frac{1}{2m}(\psi^\dagger \hat{p}\psi - \psi \hat{p}\psi^\dagger)$$

En el caso de una probabilidad constante, no hay gradiente. Sólo hay "acumulación" de partículas. La razón de esto es que estás resolviendo la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, que da las soluciones de estado estacionario. Esto significa que el sistema ha tenido mucho tiempo para estabilizarse y alcanzar un estado estacionario. Como el tiempo es tan largo (esencialmente infinito), la partícula acumulada es realmente grande (integral de probabilidad de cero a +infinito). Si E fuera menor que V, esta acumulación se limitaría a regiones cercanas a x=0 y tendría una forma exponencial negativa (también conocida como parte evanescente), pero E=V es un caso límite.

Si hubieras resuelto la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo (TDSE), observarías que la acumulación se forma gradualmente en el tiempo. En concreto, supongamos una fuente de partículas a $-\infty$ (lo que lo convierte en un sistema abierto), proporcionando un flujo constante de partículas a energía fija $E=k^2/2m$ y una barrera potencial $V(x)=V_0 u(x)$ donde $u(x)$ es la función escalón. Comience a resolver el TDSE con una condición inicial en $t=0$ de $\psi(t=0,x)=\exp(ikx)u(-x)$ que es una aproximación burda de la forma de la función de onda justo antes de que choque con la barrera de potencial.

Answer 2

He visto referencias que relacionan la "barrera de potencial cuadrada" con el caso del espacio entre dos superficies metálicas, pero esto es incorrecto. La barrera de potencial cuadrada requeriría un campo eléctrico infinito en ambos extremos sin campo en el resto. Este modelo se utiliza con frecuencia, pero no le veo ninguna aplicación práctica.