teorema de comparación para conexiones con singularidades regulares

Question

Esto es algo que nunca he entendido.

Recordemos primero el caso clásico, en el que se parte de una variedad algebraica lisa $X$ en $\mathbb{C}$ . Se tiene el complejo algebraico de de Rham $\Omega^\bullet_{X/\mathbb{C}}$ y de su análisis $\Omega^\bullet_{X^{an}}$ en $X^{an}$ . Entonces:

Teorema (Grothendieck) . El morfismo de complejos $\Omega^\bullet_X \to \Omega^\bullet_{X^{an}}$ induce isomorfismos a nivel de hipercohomología $$\mathbb{H}(X, \Omega^\bullet_{X/\mathbb{C}}) \to \mathbb{H}(X^{an}, \Omega^\bullet_{X^{an}}),$$ la primera con respecto a la topología de Zariski mientras que la segunda se toma en la cohomología habitual de la variedad analítica compleja $X^{an}$ .

Ahora supongamos que nos dan una conexión integrable $$ \nabla: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \Omega^1_X $$ en algún $\mathcal{O}_X$ -módulo. Esto define un complejo de Rham $DR(\mathcal{F}, \nabla)$ y también se puede considerar la versión analítica $DR(\mathcal{F}^{an}, \nabla^{an})$ . Todavía hay un mapa $$ \mathbb{H}^\ast(X, DR(\mathcal{F}, \nabla)) \to \mathbb{H}^\ast(X^{an}, DR(\mathcal{F}^{an}, \nabla^{an}) $$ pero ahora ejemplos muy fáciles muestran que esto no será un isomorfismo en general. Ahí es donde entra la suposición de singularidades regulares.

Fijar una buena compactación $j: X \hookrightarrow \bar{X}$ (así $\bar{X}$ es suave y el complemento es un divisor de cruces normal $D$ ). En $(\mathcal{F}, \nabla)$ tiene singularidades regulares si se puede extender a algún coherente $\mathcal{O}_{\bar{X}}$ -módulo $\bar{\mathcal{F}}$ equipado con una conexión integrable logarítmica $$ \overline{\nabla}: \bar{\mathcal{F}} \to \bar{\mathcal{F}} \otimes \Omega^1_X(\log D) $$ Ahora la ventaja es que se dispone del teorema de GAGA, por lo que $$ \mathbb{H}^\ast(\bar{X}, DR(\bar{\mathcal{F}}, \bar{\nabla})) \simeq \mathbb{H}^\ast(\bar{X}^{an}, DR(\bar{\mathcal{F}}^{an}, \bar{\nabla}^{an})) $$ para cualquier extensión de este tipo. El problema es, por supuesto, que el mapa de restricción natural $$ \mathbb{H}^\ast(\bar{X}, DR(\bar{\mathcal{F}}, \bar{\nabla})) \to \mathbb{H}^\ast(X, DR(\mathcal{F}, \nabla)) $$ no tiene por qué ser un isomorfismo. Así que la pregunta es:

Pregunta 1 : ¿Bajo qué supuestos es este mapa un isomorfismo? ¿Cómo se demuestra, y cómo se pone todo junto para demostrar un análogo del teorema de Grothendieck?

Pregunta 2 : ¿Tiene esta historia una variante con soporte compacto?

Answer 1

El morfismo $\mathbb{H}^*(X,DR(\mathcal{F},\nabla))\rightarrow \mathbb{H}^*(X^\mathrm{an},DR(\mathcal{F}^\mathrm{an},\nabla^\mathrm{an}))$ es siempre un isomorfismo cuando $\mathcal{F}$ es regular. Este es el teorema 6.2 del libro de Deligne http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-540-05190-9 .

La razón (explicada en el capítulo 2) es que en el caso normal, denotando por $j:X\rightarrow \bar{X}$ la inclusión, mapa natural $DR(\bar{\mathcal{F}},\bar{\nabla})\rightarrow \mathbb{R}j_*DR(\mathcal{F},\nabla)=j_*DR(\mathcal{F},\nabla)$ es un cuasi-isomorfismo de complejos, por lo que obtenemos $\mathbb{H}^*(\bar{X},DR(\bar{\mathcal{F}},\bar{\nabla}))\cong \mathbb{H}^*(X,DR(\mathcal{F},\nabla))$ tomando la hipercohomología.

Tienes un isomorfismo similar $\mathbb{H}^*(\bar{X}^\mathrm{an},DR(\bar{\mathcal{F}}^\mathrm{an},\bar{\nabla}^\mathrm{an}))\cong \mathbb{H}^*(X^\mathrm{an},DR(\mathcal{F}^\mathrm{an},\nabla^\mathrm{an}))$ en el lado analítico, y combinando esto con el isomorfismo GAGA en el caso propio se obtiene la versión del teorema de Grothendieck que se desea.

Sin embargo, no estoy seguro de cómo encaja el soporte compacto en el panorama.