Cómo calcular la varianza y el valor esperado de una variable aleatoria con función de densidad f(x) en R

Question

Me preguntaba cómo calcular el valor esperado y la varianza de alguna función f(x).

Para el valor esperado $\mu,$ He integrado x*f(x) y estoy seguro de que es correcto, pero estoy confundido sobre cómo calcular la varianza usando integrales y f(x).

Me preguntaba si debería usar Esta fórmula para la varianza $Var(X) = E(X^2) - \mu^2.$

donde establecería una variable con el valor del valor esperado que encontré antes y utilizaría esa fórmula.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Por ejemplo: Si $X \sim \mathsf{Beta}(2,1)$ que tiene función de densidad $f_X(x) = 2x,$ para $0 < x < 1$ y $0$ en otro sitio. [Véase Wikipedia sobre distribuciones beta].

Entonces $$\mu_X = E(X) = \int_0^1 xf_X(x)\,dx = \int_0^1 x(2x)\,dx\\ =\int_0^1 2x^2\,dx = 2/3.$$ También, $$\sigma_X^2=Var(X) = E(X^2) - \mu_X^2 = \int_0^1 x^2f_X(x)\,dx - (2/3)^2\\ = \int_0^1 2x^3\, dx - (2/3)^2 =1/2 - (2/3)^2 = 1/18.$$

Tal vez puedas practicar con la primera fórmula para $Var(X).$

Aproximación por simulación en R para comprobar la realidad (con un par de decimales de precisión):

set.seed(2020)  # for reproducibility
x = rbeta(10^6, 2, 1)
mean(x)
[1] 0.6665343   # aprx E(X) = 2/3
var(x)
[1] 0.05551495  # aprx Var(X) = 1/18
1/18
[1] 0.05555556

Nota: Existe un procedimiento de integración numérica en R, donde dbeta es el PDF de una distribución beta. He aquí una introducción rudimentaria para encontrar $E(X) = 2/3$ y $E(X^2)=1/2.$

integrand1 = function(x){x*dbeta(x,2,1)}
integrate(integrand1, 0, 1)
0.6666667 with absolute error < 7.4e-15

integrand2 = function(x)(x^2*dbeta(x,2,1))
integrate(integrand2,0,1)
0.5 with absolute error < 5.6e-15