Sea $f$ sea una función no negativa en $L^1=L^1([0,1],\lambda)$ . Demostrar que para cada $\epsilon>0$ existe una combinación lineal finita de funciones características de intervalos , $\phi = \sum c_i \chi_{[a_i,b_i)}$ tal que $\|f-\phi\|_{L^1}<\epsilon$ . 
Mi interpretación de la pregunta es que se pide demostrar que existe una secuencia de funciones escalonadas que converge en $L^1$ para funcionar $f$ . ¿Es correcto?
( $\textbf{Side question}$ : ¿Se trata de demostrar que podemos aproximar cualquier función medible $f$ mediante una secuencia de funciones simples? Si no es así, ¿cuál es la diferencia entre esta pregunta y aquélla)?
Mi intento:
Sea $E=[0,1]$ desde $f\in L^1$ y $\lambda(E)<\infty$ tenemos que $f\leq L$ para algunos $L>0$ . dejar $E=\bigcup_{i=1}^M E_i$ , $E_j\cap E_l=\phi , \forall j\neq l$ y $h=\sum a_i \chi_{E_i}$ sea una sucesión de funciones simples que converge puntualmente a $f$ tal que $|f-h|<\frac{\epsilon}{2}$ .
deje $A^i = \{x | \chi_{E_i}\neq \chi_{\cup[a_i,b_i)}\}$ entonces que el $\lambda(A^i)<\frac{\epsilon}{2Ma_i}$ . así que $\|h-\phi\|_{L^1(E_i)}<\frac{\epsilon}{2M}$ .
por lo que tenemos \begin{align} \|f-\phi\|_1 & \leq \|f-h\|_1+\|h-\phi\|_1 = \|f-h\|_1 + \int_{\cup E_i} |f-\phi|d\lambda \\ & = \|f-h\|_1 + \sum_{i=1}^M\int_{E_i} |f-\phi|d\lambda\\ & = \|f-h\|_1 + \sum_{i=1}^M\|h-\phi\|_{L^1(E_i)}\\ & \leq \frac{\epsilon}{2} + M.\frac{\epsilon}{2M}\\ & = \epsilon \end{align}
$\textbf{Question}:$ Mi amigo también estaba sugiriendo que no podía ver cuál es el problema con eso si no está funcionando , la solución parecía simple sin embargo. Tomando una secuencia creciente de función simple $\phi_n$ que converge puntualmente a $f$ . Es decir $\phi_n \leq f $ . por lo que tendríamos que utilizando el teorema de convergencia monótona , $\lim \int_E\phi_n =\int_E \phi \leq \int_E f$ entonces se deduce que también $\|f-\phi\|_{L^1(E)}\to 0$
