¿Existe tal secuencia real, acotada y "extremadamente" equidistribuida?

Question

Para cada $\ n\in\mathbb{N},\ $ definir el conjunto $\ [n] := \{1,2,\ldots, n\}.\ $ ¿Existe una secuencia real $\ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset [0,1),\ $ tal que para cada $\ n\in\mathbb{N}\ $ existe un biyección $\ f:[n]\to [n],\ $ tal que $\ a_{f(k)} \in \left[ \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right)\ \forall\ k\in [n]\ ?$

En otras palabras, ¿podemos construir una secuencia $\ (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset [0,1),\ $ tal que para cada $\ n\in\mathbb{N},\ \not\exists\ i,j,k\in [n]\ $ con $\ i\neq j\ $ y $\ a_i,a_j\in\left[ \frac{k-1}{n}, \frac{k}{n} \right)\ ?$

Answer 1

Estoy bastante seguro de que la secuencia de Van der Corput funciona básicamente (siempre es un buen ejemplo a tener en cuenta cuando se buscan pequeñas secuencias de "discrepancia").

Porque tienes el intervalo cerrado en $0$ y el intervalo abierto en $1$ Creo que tenemos que hacer $1$ menos la secuencia Van der Corput: $a_n := 1-v_n$ donde, para este problema, empezamos $v_1 := 1$ y tienen $v_2,v_3,\dots := \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{8},\frac{5}{8},\frac{3}{8},\frac{7}{8},\frac{1}{16},\frac{9}{16},\frac{5}{16},\frac{13}{16},\frac{3}{16},\frac{11}{16},\frac{7}{16},\frac{15}{16},\dots$ .

Esta secuencia se ha estudiado hasta la saciedad. Es muy probable que alguien ya haya demostrado que satisface lo que usted solicita (posiblemente con sólo mirar a $(v_n)_n$ y poniendo el intervalo cerrado en $1$ en lugar de $0$ ).

Si no puedes encontrar una referencia y no puedes probar que esta secuencia funciona para tu problema, házmelo saber e intentaré escribir una prueba.