Demostrando que $S_{4}$ no es isomorfo a $D_{12}$

Question

Pregunta:Demuestre que $S_{4}$ no es isomorfo a $D_{12}$

Esta pregunta parece trivial. Pero hay un punto sutil que no me parece del todo evidente.

Es trivial ver que ambos grupos tienen el mismo orden.

Tenga en cuenta que los elementos de $D_{12}$ son {r,f} donde r y f son funciones de rotación y volteo respectivamente. Evidentemente, por inspección geométrica, el orden del elemento r=12 y el orden de f=2.

Recordemos que el orden de un elemento en $S_{4}$ es la LCM de la longitud de ciclo de la permutación. Los elementos de $S_{4}$ son todas las permutaciones del conjunto finito $\omega$ = ${1,2,3,4}$ .

Sea $\alpha$ sea un elemento de $S_{4}$ . Entonces, $\alpha$ tienen posiblemente 1 ciclo de longitud 4, 1 ciclo de longitud 3 conjoin con 1 ciclo de longitud 1, 2 ciclo de longitud 2. Por lo tanto, el orden de $\alpha={4,3,2}$ .

Dados dos grupos distintos, ¿qué más se puede deducir exactamente en el caso de que los elementos de cada grupo no tengan el mismo orden?

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: el centro $Z(D_{12}) \neq 1$

Answer 2

Hay muchas formas diferentes de responder a tu pregunta, pero la respuesta que esperes dependerá de las propiedades de estos dos grupos con las que estés familiarizado. Sería conveniente que pruebe estas propiedades, para aclarar la respuesta.

En los grupos diedros, al menos la mitad de los elementos son de orden $2$ contiene un elemento de orden igual a la mitad del orden del grupo; su centro tiene orden $2$ cuando su orden es divisible por $4$ y muchas más propiedades. Se puede ver que, $S_4$ viola estas tres propiedades.