¿Cuál es la probabilidad de obtener cara O un 2 en un dado de seis caras SOLO UNA VEZ en 3 intentos?

Question

¿Cuál es la probabilidad de obtener cara O un 2 en un dado de seis caras SOLO UNA VEZ en 3 intentos?

OK, para aclarar, conseguir cabezas Y un 2 NO SERÍA el resultado deseado. Obtener cara o un 2 más de una vez tampoco sería el resultado deseado. No importa en cuál de los intentos salga cara o 2 (puede ser el primero, el segundo o el tercero).

He aquí cómo he enfocado el problema:

El lanzamiento de la moneda y la tirada del dado son eventos independientes. Hay 2 posibilidades para el lanzamiento de la moneda y 6 posibilidades para la tirada del dado. Por lo tanto, si una prueba consta de un lanzamiento de moneda y una tirada de dado, entonces hay $12$ posibles resultados ( $6 \cdot 2 = 12$ ) por ensayo. Si $3$ ensayos se llevan a cabo hay $1728$ ( $12^3$ ) posibles resultados.

Si se lanza una moneda al aire $3$ veces, hay $8$ posibles resultados:

1. HHH No

2. TTT No

3. HTT Sí

4. THT Sí

5. TTH Sí

6. HHT No

7. HTH No

8. THH No

Por lo tanto, la probabilidad de obtener cara sólo una vez en $3$ ensayos es $3/8$ . Btw, sé que hay una manera más fácil de hacer esto que escribir todas las posibilidades, sólo que no sé cómo aplicarlo aquí. También escribir todas las posibilidades se vuelve molesto cuando hay muchas pruebas. Así que si agradecería que alguien me recordara la fórmula.

Sé que si tuviera que encontrar la probabilidad de obtener cabezas en $3$ ensayos al menos una vez que sería fácil. Tendría que encontrar la probabilidad de obtener colas $3$ veces y restar ese valor de $1$ . Pero hay casos que son más difíciles.

La tirada es un poco complicada y no estoy seguro de haberlo hecho bien. Hay $216$ ( $6^3$ ) resultados posibles al lanzar un dado $3$ veces. La probabilidad de obtener un 2 es $1/6$ y la probabilidad de no obtener un 2 es $5/6$ (obviamente, en un único ensayo). Así que la probabilidad de obtener un 2 en el primer ensayo cuando $3$ ensayos se llevan a cabo es:

$$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$$

Pero como es un acontecimiento favorable obtener un 2 en la 2ª o 3ª prueba hay que tenerlo en cuenta.

$$25 \cdot \frac{3}{216} = \frac{75}{216}$$

Así que ahora tenemos que juntarlos.

$$\frac{3}{8} \cdot \frac{75}{216} = \frac{225}{1728} = 0.1302 = 13.02\%$$

Creo que me estoy perdiendo algo. Si no me equivoco he encontrado la probabilidad de obtener cara sólo una vez y un 2 sólo una vez en $3$ ensayos. No quiero obtener ambas cabezas y un 2, así que ¿tendría que restar del numerador para ser completamente correcto? Si es así, ¿restaría 3? Por cierto, he elegido 3 porque ese es el número de intentos, lo que significa que quitaría el resultado de cara y 2 en el primer, segundo y tercer intento.

Además, si alguien tiene alguna idea de cómo enfocar esto con una fórmula, que me lo diga porque intentar averiguarlo ha sido agotador. Además, idealmente me gustaría saber cómo hacer esto para cualquier número dado de ensayos, no sólo $3$ ensayos.

Answer 1

CONSEJO

En realidad, la forma de enfocar cada subproblema es totalmente correcta. Estos son distribuciones binomiales y, por ejemplo, su fórmula

$$3 \times \frac16 \times (\frac56)^2$$

se puede encontrar en el artículo de la wikipedia en la forma

$${n \choose k} \times p^k \times (1- p)^{n-k}$$

para el caso de $n=3$ tiradas de dados, quieres exactamente $k=1$ caso de resultado "2", y la probabilidad de que ese resultado en un ensayo específico sea $p=1/6$ . (Por cierto, la misma fórmula, si se introduce $p=1/2$ te daría $3/8$ para el "exactamente $1$ Cabeza adentro $3$ ejemplo "lanzar una moneda").

Sin embargo, como usted ha dicho, ${3 \over 8} \times {75 \over 216}$ es la probabilidad de obtener exactamente una Cabeza y exactamente un "2". Quieres una o la otra, no ambas. Esto tiene que ser contado como:

$$Prob(\text{exactly one Head}) \times Prob(\text{no 2}) + Prob(\text{no Head}) \times Prob(\text{exactly one 2})$$

Cada uno de los $4$ las probabilidades individuales pueden calcularse fácilmente.