Productos semidirectos y directos

Question

¿Cuál es la diferencia entre un producto directo y un producto semidirecto en la teoría de grupos?

Basado en lo que puedo encontrar, la diferencia parece ser sólo la naturaleza de los grupos involucrados, donde un producto directo puede involucrar cualquier dos grupos y el producto semi-directo sólo permite un subgrupo normal $N$ de algún grupo $G$ y otro subgrupo de $G$ que se cruza trivialmente con $N$ .

¿Esto es todo? ¿Cuál es el significado? Gracias.

Answer 1

Veamos tres conceptos relacionados, en orden creciente de complejidad:

1. Productos directos. Decimos que $G$ es (isomorfo a) un producto directo de $M$ y $N$ si y sólo si existen subgrupos $H$ y $K$ de $G$ tal que:

   • $H\cong M$ y $K\cong N$ ;
   • $H\triangleleft G$ y $K\triangleleft G$ ;
   • $H\cap K=\{e\}$ ;
   • $G=HK$ .

2. Productos semidirectos. Decimos que $G$ es (isomorfo a) un producto semidirecto de $M$ por $N$ si y sólo si existen subgrupos $H$ y $K$ de $G$ tal que:

   • $H\cong M$ y $K\cong N$ ;
   • $H\triangleleft G$ ;
   • $H\cap K=\{e\}$ ;
   • $G=HK$ .

3. Extensiones. Decimos que $G$ es (isomorfo a) una extensión de $M$ por $N$ si y sólo si existe un subgrupo $H$ de $G$ tal que

   • $H\cong M$ ;
   • $H\triangleleft G$ ;
   • $G/H\cong N$ .

La 1 y la 2 se parecen mucho. De hecho, 1 es un caso especial de 2 (cuando $K$ es normal); y 2 es un caso especial de 3: si $G=HK$ , $H\triangleleft G$ y $H\cap K=\{e\}$ entonces $K$ mapea isomórficamente en $G/H$ mediante la proyección natural (la intersección con el núcleo es trivial, por lo que la proyección restringida a $K$ es uno a uno; y cada elemento de $G$ puede escribirse como $x=hk$ con $h\in H$ y $k\in K$ Así que $Hx = Hk$ por lo que el mapa es onto cuando se restringe a $K$ ).

Pero cada una es una construcción más general que la anterior, dando lugar a tipos de grupos más generales.

Por ejemplo, en Productos Directos, las condiciones implican inmediatamente que los elementos de $H$ conmutan con elementos de $K$ :

Lema. Dejemos que $G$ sea un grupo, y que $H$ y $K$ sean subgrupos normales de $G$ . Si $H\cap K=\{e\}$ entonces $hk=kh$ para todos $h\in H$ y $k\in K$ .

Prueba. Considere $hkh^{-1}k^{-1}$ . Desde $K$ es normal en $G$ entonces $$hkh^{-1}k^{-1} = (hkh^{-1})k^{-1} \in (hKh^{-1})K = KK = K;$$ y como $H$ es normal en $G$ entonces $$hkh^{-1}k^{-1} = h(kh^{-1}k^{-1}) \in H(kHk^{-1}) = HH = H.$$ Por lo tanto, $hkh^{-1}k^{-1}\in H\cap K = \{e\}$ Así que $hkh^{-1}k^{-1}=e$ . Multiplicando a la derecha por $kh$ da $hk=kh$ , según se desee. $\Box$

Así, por ejemplo, si todo lo que conoces son grupos abelianos directos, entonces los productos directos sólo te darán grupos abelianos. Si ambos $M$ y $N$ tienen un exponente $k$ , entonces los productos directos le darán un grupo de exponente $k$ . (De hecho, cualquier identidad satisfechos por ambos $M$ y $N$ será satisfecha por $M\times N$ pero esto es quizás un poco avanzado para ti ahora, así que no te preocupes demasiado por ello).

En cambio, los productos semidirectos son más complicados, porque ese segundo subgrupo no tiene que ser normal. El argumento anterior no es válido, y no siempre conseguimos que los elementos de $H$ y elementos de $K$ conmutan (si es que lo hacen hacer entonces tiene un producto directo). El ejemplo más pequeño es $S_3$ el grupo no abeliano de orden $6$ visto como las permutaciones de $\{1,2,3\}$ con $M=C_3$ el grupo cíclico de orden $3$ , $N=C_2$ el grupo cíclico de orden $2$ y $H=\{I, (1,2,3), (1,3,2)\}$ , $K = \{I, (1,2)\}$ (otras opciones de $K$ son posibles).

En un producto semidirecto, el hecho de que $H$ es normal significa que para cada $k\in K$ tienes $kHk^{-1}=H$ es decir, cada $k$ induce un automorfismo de $H$ . Así que podemos definir un homomorfismo $K\to \mathrm{Aut}(H)$ dejando que $k$ se mapea con el homomorfismo $h\mapsto khk^{-1}$ . Si este mapa es trivial, se obtiene el producto directo de $H$ y $K$ . Si el mapa no es trivial, entonces se obtienen grupos más interesantes. Diferentes homomorfismos pueden dar lugar a grupos no isomorfos, por lo que ahora hay que tener cuidado: mientras que hay una y sólo una forma de construir un "producto directo" de dos grupos $M$ y $N$ En general, puede haber muchos formas (no equivalentes) de construir productos semidirectos de $M$ por $N$ .

Nótese que ahora es posible tener un producto semidirecto de grupos abelianos que no sea abeliano (como en el $S_3$ ejemplo). Y ya no es cierto que si ambos $M$ y $N$ son de exponente $k$ , entonces un producto semidirecto también tendrá exponente $k$ . Por ejemplo, tome $M=C_2\times C_2 = \{1,x\}\times\{1,x\}$ que es de exponente $2$ , toma $N=\{1,n\} = C_2$ , también de exponente $2$ y que el elemento no trivial de $N$ actuar $M$ por la regla $n^{-1}(a,b)n = (b,a)$ . Entonces $(x,1)n$ tiene orden $4$ : $$\begin{align*} \bigl((x,1)n\bigr)^2 = (x,1)n(x,1)n &= (x,1)(n^{-1}(x,1)n) = (x,1)(1,x) = (x,x)\\ \bigl((x,1)n\bigr)^3 = (x,x)(x,1)n &= (1,x)n\\ \bigl((x,1)n\bigr)^4 = (1,x)n(x,1)n &= (1,x)(n^{-1}(x,1)n) = (1,x)(1,x) = (1,1). \end{align*}$$

Las extensiones son aún más complejas: en esencia, todo grupo finito puede verse como una secuencia de extensiones de grupos simples (de ahí, en parte, el interés por clasificar todos los grupos simples finitos). No todas las extensiones son productos semidirectos (o directos). Por ejemplo, $\mathbb{Z}_4$ el grupo cíclico de orden $4$ es una extensión de $\mathbb{Z}_2$ por $\mathbb{Z}_2$ el subgrupo $H=\{\overline{0},\overline{2}\}$ es cíclico de orden $2$ y normal, y el cociente $\mathbb{Z}_4/H$ es de orden $2$ por lo que es cíclico de orden $2$ . Si fuera un producto semidirecto de $\mathbb{Z}_2$ por $\mathbb{Z}_2$ , entonces al ser abeliana sería necesariamente una directo producto, por lo que tendría el exponente $2$ por lo que no se puede escribir como un producto semidirecto.

Como ya he mencionado, todo grupo puede expresarse como una secuencia de extensiones utilizando grupos simples. Por la Teorema de Jordan-Hölder Aunque la secuencia no es única, los grupos simples precisos que aparecen es (contando la multiplicidad).

Las definiciones son bastante parecidas: sólo eliminamos la condición de normalidad para un al pasar de producto directo a producto semidirecto; simplemente intercambiamos "hay un subgrupo isomorfo a $N$ que mapea isomórficamente al cociente" con "el cociente es isomorfo a $N$ " al pasar del producto semidirecto a la extensión. Pero las consecuencias de estos "pequeños cambios" son grandes. Al igual que la diferencia entre "grupo abeliano finito" y "grupo finito" parece muy pequeña (sólo se ha eliminado una línea), pero las implicaciones en nuestra capacidad para clasificar/comprender los objetos en cuestión son enormes.