Homotopía de cadena: ¿por qué du ud y no du + vd?

Question

Cuando uno quiere demostrar que una de morfismos $f_*$ entre dos complejos de la cadena $\left(C_*\right)$ y $\left(D*\right)$ es cero en la homología, uno de los enfoques estándar es buscar una cadena de homotopy, yo. e., para un mapa de $U_n:C_n\a D_{n+1}$ definidas por cada $n$ que satisface $f_n=d_{n+1}U_n+U_{n-1}d_n$ para todo $n$. Sin embargo, esto no es estrictamente necesario: Por ejemplo, es a menudo suficiente para tener dos mapas de $U_n:C_n\a D_{n+1}$ y $V_n:C_n\a D_{n+1}$ definidas por cada $n$ que satisfacer $f_n=d_{n+1}U_n+V_{n-1}d_n$ para todo $n$. De esta manera, cuando la construcción de $U_n$ y $V_n$, uno no tiene que cuidar de ellos para "encajar", porque cada uno se utiliza sólo una vez.

Sin embargo, al menos en mi experiencia sugiere que uno no gana mucho de esto - cuando uno intenta construir estos $U_n$ y $V_n$, que a su vez (después de cierta simplificación) a ser el mismo.

Mi pregunta es: ¿Cuál es la razón más profunda detrás de esto? ¿Por qué la cadena de homotopies como para "encajar" a pesar de que no es necesario?

Lo siento si esto no tiene sentido...

EDIT: Gracias David, parece que no puede escribir una sola absatz sin un error estúpido.

Answer 1

EDITADO, porque creo ver la imagen en grande ahora.

Tenemos el siguiente teorema: vamos a $C$ y $D$ ser complejos de proyectivas de los objetos. Los siguientes son equivalentes: (a) el mapa de $f: C \D$ es el cero mapa en la derivada de la categoría (b) hay un homotopy entre $f$ y $0$.

En este teorema, la definición de homotopy es que $f=du+ud$. Así que mi respuesta a tu pregunta es: En la práctica, si un mapa induce el cero mapa en la homología, es probablemente el cero en la derivada de la categoría. Existen mapas que son de la forma $du+vd$, pero no de la forma $du+ud$, ver a mi otra respuesta.

El párrafo sobre hereditario álgebras de eliminar, porque creo que no estaba del todo bien.

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Algunos de los más elementales observaciones

(1) es necesario que $f$ ser un mapa de los complejos de la cadena, por lo que $df=fd$. Así que queremos $d(du+vd) =(du+vd)d$ o $dud=dvd$. Esto no obliga a $u=v$, pero es la manera más fácil de conseguir.

(2) Hay un topológica de la forma de pensar de la condición $du+ud=f$, lo que he aprendido de Joel Kamnitzer. Deje que $I$ a ser el complejo de cadena con $I_1=\mathbb{Z}$, $I_0 = \mathbb{Z}^2$ y el mapa de $I_1 \a I_0$ dada por $(1 \ -1)$. Deje que $\parcial I$ ser la subcadena complejo donde $(\partial I)\_0=I_0$ y $(\partial I)\_i=0$ para todos los otros $i$.

A continuación, escribir $f=du+ud$ es equivalente a encontrar un mapa de $u:C \times I \D$ tal que, cuando restringimos a $C \times (\partial I)$, tenemos el mapa de $f$ en uno de los componentes y $0$ en el otro. $I$ es el complejo de cadena de la obvia la triangulación de la unidad de intervalo. El pensamiento de $I$ como la unidad de intervalo, esto realmente es un homotopy entre $f$ y $0$. No puedo pensar de un análogo geométricas motivación para $f=du+vd$.

Answer 2

Aquí está un ejemplo de un mapa de los complejos de la cadena que puede ser realizado como $du+vd$ pero no se como $du+ud$.

Vamos a $C$ y $D$ ser el complejo de cadena

$$\cdots 0 \to \mathbb{Z}/p^2 \to \mathbb{Z}/p^2 \0 \a \cdots$$

donde el trivial mapa es la multiplicación por $p$.

Mapa de $C$ a $D$ por multiplicación por $p$ en el primer trivial grado, y cero en el otro no trivial de grado. Este es de $du+vd$, donde $u$ es $1$ y $v$ es $0$ (en el único trivial grado).

Por otro lado, este mapa no puede ser escrito como $du+ud$. Si hemos tenido una representación, entonces $u$ sería la multiplicación por $$ $a \in \mathbb{Z}/p^2$. Los dos verticales mapas sería entonces ser ambos $pa$. En particular, es imposible que uno sería cero y el otro no.

Si tenemos en cuenta estos complejos como objetos en la derivada de la categoría de $(\mathbb{Z}/p^2)$-módulos, que son complejos de proyectivas de los objetos. Así que este es un ejemplo de un mapa de los complejos de lo que induce a cero mapas en cohomology pero no es cero en la derivada de la categoría.

¿Qué sucede si se pasa a un cociente categoría donde los mapas como este son cero? No tengo idea! ¿Alguien?

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La integridad, la añado un ejemplo de un mapa que induce a cero en la homología y no puede ser escrito como $du+vd$. Considere la posibilidad de $$\begin{matriz} 0 & \ & \mathbb{Z} & \ & \mathbb{Z} \\\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\\\ \mathbb{Z} & \ & \mathbb{Z} & \ & 0 \end{matriz}$$

donde el trivial horizontal mapas son la multiplicación por $p$, y la vertical del mapa es la identidad. El trivial de homología es decir, en diferentes grados, en la parte superior y la parte inferior, por lo que el mapa en la homología es cero. Pero cualquier mapa de la forma $du+vd$ sería $0$ modulo $p$ en la columna central.

Answer 3

Sorprendentemente, he considerado la categoría de complejos donde los mapas de la forma du+vd son asesinados en: el Peso de las estructuras frente a $t$-estructuras; peso filtraciones, espectral de las secuencias, y de los complejos (por los motivos y, en general), para que aparezcan en J. de la K-teoría, http://arxiv.org/abs/0704.4003en la sección 3.1. Mi principal observación es que la composición de dos complejos de la cadena de morfismos de forma du+vd el rendimiento de un morfismos homotópica a cero; así que en realidad usted no se olvide de mucho la información. En particular, la proyección functor de la homotopy categoría de complejos a ello, más grueso categoría es conservador, es decir, un no-isomorfismo no se convierta en un isomorfismo.

Usted también puede encontrar un poco de motivación para la introducción de esta categoría en la Observación 1.5.2 de mi papel.

Answer 4

Acabo de encontrar otro artículo sobre esto: Homología absoluta por Michael Barr.