¿Por qué este sistema homogéneo de ecuaciones tiene infinitas soluciones?

Question

$$ \begin{array}{lcl} 2x + 2y + z&=& 0 \\ 2x 3y 4z&=& 0 \\ 4x y 3z &=& 0 \end{array}$$

Lo que he deducido hasta ahora de mi libro es que un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si (esto es sólo cómo lo he resuelto en mi cerebro; esto no está realmente escrito en mi libro ni nada y podría estar equivocado):

1) El sistema tiene más variables que ecuaciones

o

2) Todas las ecuaciones de un sistema son múltiplos escalares entre sí

Pero ninguno me parece que sea el caso aquí, ya que... Hay 3 variables, así como 3 ecuaciones. Y 2x+2y+z=0, por ejemplo, no es un múltiplo escalar de 4x-y-3z = 0.

Entonces, ¿por qué este sistema tiene infinitas soluciones y cómo puedo reconocerlo (si es que lo necesito)?

Answer 1

En rango de un sistema homogéneo es el número de filas no nulas en su forma fila-echelón reducida.

Es un hecho. Si el rango de un sistema homogéneo es menor que el número de variables del sistema, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

En nuestro ejemplo, tenemos $$ \DeclareMathOperator{rref}{rref}\rref \left[\begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & -4 \\ 4 & -1 & -3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$ El rango en este caso es dos, mientras que el número de variables es tres. Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.

De hecho, la forma reducida fila-echelón se puede utilizar para describir explícitamente estas infinitas soluciones. En este caso, todas las soluciones son de la forma $$ \left[\begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array}\right]= \left[\begin{array}{r} z/2 \\ -z \\ z \end{array}\right] = z \left[\begin{array}{r} 1/2\\-1\\1\end{array}\right] $$ Evidentemente, la dimensión del espacio de soluciones es uno. En general, el espacio solución tiene dimensión igual al número de variables menos el rango.

Answer 2

Este sistema de ecuaciones puede escribirse como $AX=0$ donde $A=\begin{pmatrix} 2&2&1\\2&-3&-4\\4&-1&-3 \end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}$ . Observe que $X=0$ es siempre una solución de tal sistema, por lo tanto los sistemas homogéneos siempre tienen al menos una solución. Ahora bien, si $A$ es invertible, entonces $AX=0\Rightarrow X=A^{-1}0=0$ por lo que este sistema tiene la solución única $X=0$ . Si $A$ no es invertible, el sistema tiene más infinitas soluciones (esto no es tan difícil de demostrar, pero requiere algunos conocimientos básicos de los inversos). Así que se puede comprobar fácilmente si un sistema de este tipo tiene una solución única o infinitas soluciones calculando $\det(A)$ .

Recuerda este truco, si no estás explícitamente interesado en la solución, sino en el número de soluciones, entonces el determinante es muy útil.

Además, como se ha señalado en los comentarios, no es necesario que las ecuaciones sean múltiplos escalares entre sí para transmitir la misma información. Por ejemplo: $x+y=0, x+y+z=0, z=0$ la tercera ecuación es redundante, ya que por la segunda tenemos que $(x+y)+z=0$ y por la primera $x+y=0$ Por lo tanto $z=(x+y)+z=0$ cede el tercero.