¿Cómo se define exactamente "ordenar normalmente un operador"?

Question

(En esta pregunta, sólo hablo de la versión de segunda cuantificación del orden normal, no de la versión CFT).

La mayoría de las fuentes (por ejemplo Wikipedia ) definen muy rápidamente el orden normal como "reordenar todos los operadores de la escalera de forma que todos los operadores de creación estén a la izquierda de todos los operadores de aniquilación". Esta definición es extremadamente vaga, y quiero asegurarme de que entiendo la definición real.

Si lo he entendido bien, la gente utiliza la expresión "ordenar normalmente un operador" para referirse a dos cosas no equivalentes. A veces quieren decir "utilizar las relaciones de (anti)conmutación para reescribir el operador de modo que sea de orden normal (sin cambiar el operador en sí)". Bajo esta definición (no ambigua), tenemos que la forma de orden normal del operador $a a^\dagger$ est $a^\dagger a + 1$ . Podemos utilizar esta definición para poner cualquier operador en forma canónica (hasta un signo, en el caso fermiónico. Podemos arreglar esta ambigüedad de signo especificando un ordenamiento canónico de los espacios de Hilbert de sitio único).

Pero a veces el verbo "normal-orden" se utiliza de una manera diferente, que en realidad puede cambiar el operador. Creo que esta definición es la que se suele representar rodeando el operador con dos puntos. Si he entendido bien, este procedimiento se define como "utilizar las relaciones de (anti)conmutación $\left[ a_i, a_j \right]_\pm = \left[ a_i^\dagger, a_j^\dagger \right]_\pm = 0$ para desplazar todos los operadores de creación a la izquierda de todos los operadores de aniquilación, ignorando el $\left[ a_i, a_j^\dagger \right]_\pm = \delta_{ij}$ relación de (anti)conmutación y pretendiendo que su RHS fuera cero".

Obviamente, este procedimiento parece un poco arbitrario e inmotivado. Además, no parece del todo bien definido. Está bien para productos de operadores de escalera, pero el problema es que bajo esta definición, el orden normal no se distribuye sobre la suma:

$$ {:} a^\dagger a{:} \ =\ a^\dagger a\ =\ a a^\dagger - 1\ $$ mais $${:} a a^\dagger{:} -1\ = a^\dagger a - 1.$$

Por tanto, no está claro cómo definir el orden normal para un operador general, es decir, una combinación lineal general de productos de operadores de escalera. Y, por supuesto, que un operador sea o no una suma no trivial de productos de operadores de escalera depende de cómo se escriba; podemos escribir equivalentemente el mismo operador como $a^\dagger a$ (un solo sumando) o como $a a^\dagger - 1$ (sumandos múltiples).

De ello concluyo que (según la segunda definición) "ordenar normalmente un operador" es en realidad un abuso de la terminología; sólo podemos ordenar normalmente con sentido ciertos operadores particulares expresiones para algunos operadores. ¿Es esto correcto? Si no es así, ¿cómo se define la ordenación normal de una combinación lineal de productos de operadores de escalera?

Answer 1

En el libro "Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebra" de T. Miwa, M. Jimbo y E. Date en la página 44-46. Es la mejor definición que he encontrado hasta ahora. Esta es la mejor definición que he encontrado hasta ahora y es la siguiente para productos de operadores bosónicos. Llamar $\mathcal{A}$ el conjunto de combinaciones lineales de productos formales finitos de operadores bosónicos $b_i,\,b_i^\dagger$ . El orden normal ${:} a {:}$ de $a \in\mathcal{A}$ es un notación definido inductivamente por las propiedades

1. Linealidad, $${:} z_1a_1+z_2a_2 {:}= z_1{:} a_1 {:} + z_2 {:} a_2 {:}\quad \text{for} \quad z_1,\,z_2\in \mathbb{C}\quad \text{and}\quad a_1,\,a_2 \in \mathcal{A}$$
2. ${:} 1 {:} = 1$ con $1$ el operador de identidad en $\mathcal{A}$
3. dentro de los puntos todos los operadores $b_i,\,b_i^\dagger$ viaje al trabajo entre ellos
4. los operadores de aniquilación pueden sacarse de las columnas de la derecha $${:}a b_i{:} = {:} a{:}\,b_i$$
5. los operadores de creación pueden sacarse de las columnas de la izquierda $${:}b_i^\dagger a{:} = b_i^\dagger\,{:} a{:}$$

La definición para los operadores fermiónicos es la misma con la única diferencia de que los operadores fermiónicos anticonmutan entre sí (Propiedad 3). Es importante destacar que normalmente los operadores de aniquilación son aquellos operadores que aniquilan un estado de vacío especificado, por lo que el ordenamiento normal depende de la elección del vacío.

El orden normal es una notación y no una función que actúa sobre operadores (es decir, un superoperador). Esto significa que, mientras que $b_ib_i^\dagger$ y $b_i^\dagger b_i +1$ son los mismos operadores según las relaciones de conmutación canónicas, se representan como elementos diferentes de $\mathcal{A}$ que es el conjunto de combinaciones lineales de cadenas de símbolos generadas por $b_i,b_i^\dagger$ . En términos matemáticos, el orden normal es una función definida sobre los elementos de del álgebra libre generado por $b_i,b_i^\dagger$ pero no es una función bien definida en el Álgebra CCR (álgebra de relaciones de conmutación canónica). El paso en falso que conduce al resultado paradójico

$$b_ib_i^\dagger = b_i^\dagger b_i +1 \Rightarrow {:}b_ib_i^\dagger {:} = {:}b_i^\dagger b_i +1{:} = {:}b_i^\dagger b_i{:} + 1 = {:}b_ib_i^\dagger{:} + 1 \Rightarrow 0 = 1$$

es en realidad la primera igualdad desde $b_ib_i^\dagger \neq b_i^\dagger b_i +1$ en $\mathcal{A}$ . En otro Correo electrónico: se sugirió que el producto normal no está definido cuando se actúa sobre combinaciones lineales. Sin embargo, esto limitaría seriamente la utilidad del orden normal. Por ejemplo, es habitual tomar el orden normal de series infinitas como las exponenciales. La definición como función que actúa sobre el álgebra libre $\mathcal{A}$ es el que se utiliza en la práctica.

Este es un buen ejemplo de cómo el rigor matemático no debe considerarse una molestia en la comunidad de físicos, sino una herramienta importante para evitar malentendidos y confusiones.

Answer 2

1. La cuestión principal es que el procedimiento normal de pedido $:~:$ no lleva operadores a operadores, sino símbolos/funciones a operadores. Este importante punto resuelve varias paradojas creadas por el abuso del lenguaje.

2. Es decir, si $a$ y $a^{\ast}$ denota los símbolos/funciones correspondientes a los operadores $\hat{a}$ y $\hat{a}^{\dagger}$ respectivamente, entonces el orden normal satisface $$:aa^{\ast}:~=~:a^{\ast}a:~=~\hat{a}^{\dagger}\hat{a},$$ etc.

3. Para una explicación completa, véase, por ejemplo este Post de Phys.SE y enlaces al mismo.

Answer 3

En mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad, la ordenación normal significa siempre aplicar las reglas de conmutación para desplazar los creadores a la izquierda de los aniquiladores, lo que da como resultado una única expresión final igual a la original en el sentido del operador.

En la teoría cuántica de campos (es decir, la mecánica cuántica con infinitos grados de libertad) proceder de esta manera suele ser imposible, ya que conduce a coeficientes mal definidos. Por lo tanto, en la teoría cuántica de campos, el orden normal siempre significa permutar los creadores a la izquierda de los aniquiladores sin tener en cuenta las reglas de conmutación (es decir, en la expresión clásica). Sin embargo, el signo cambia cuando se permutan dos operadores fermiónicos. De este modo, expresiones que de otro modo estarían mal definidas cobran sentido al menos como formas cuadráticas. En la dimensión espaciotemporal $>2$ se necesita una renormalización adicional para convertir las expresiones en verdaderos operadores.