Integre $\frac{1}{x\sqrt{a - bx^2}}$

Question

Llevo horas intentando responder a esta pregunta:

Encuentre $\int \frac{1}{x\sqrt{a - bx^2}}\,dx$

Es de "Cálculo fácil" de Silvanus Thompson (¡aparentemente no lo bastante fácil para mí!).

La respuesta dada es $\frac {1}{\sqrt{a}}\log\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-bx^2}}{x\sqrt{a}}\right)$

He intentado la pregunta dejando que $x=\sqrt{\frac ab}\sin(u)$ que yo piense en va por buen camino ya que termino con el $\frac1{\sqrt a}$ término en mi respuesta, pero nada más encaja en términos de la respuesta dada.

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

Andrew

Answer 1

Sugerencia Su método parece funcionar, siempre y cuando $a, b > 0$ : La sustitución $x = \sqrt{\frac{a}{b}} \sin \theta$ , $dx = \sqrt{\frac{a}{b}} \cos \theta \,d\theta$ transforma la integral en $$\frac{1}{\sqrt{a}} \int \csc \theta \,d\theta .$$

Otra opción evita por completo las funciones trigonométricas: Reescribir la integral como $$\int \frac{x \,dx}{x^2 \sqrt{a - b x^2}} .$$

¿Qué sustitución sugiere esta forma del integrando?

Sugerencia adicional Considere la sustitución $u^2 = a - b x^2$ , $du = -2 b x \,dx$ .

Answer 2

Sustituir $x=\sqrt{\frac ab }\frac1t$ para obtener

$$\int \frac{dx}{x\sqrt{a - bx^2}}=-\frac1{\sqrt a}\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-1}}= - \frac1{\sqrt a}\cosh^{-1}t=- \frac1{\sqrt a}\ln\left(t+\sqrt{t^2-1}\right) $$

que es igual a $\frac {1}{\sqrt{a}}\ln\left(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a-bx^2}}{x\sqrt{a}}\right)$ .

Answer 3

Pista:

$$\int\dfrac{dx}{x\sqrt{a-bx^2}}=\int\dfrac{bx\ dx}{bx^2\sqrt{a-bx^2}}$$

Sea $\sqrt{a-bx^2}=u\implies du=\dfrac{{-bx}}{\sqrt{a-bx^2}}$ y $bx^2=a-u^2$

En general, para $$\int\dfrac{dx}{x\sqrt{a-bx^n}}=\int\dfrac{bx^{n-1}\ dx}{bx^n\sqrt{a-bx^n}}$$

configure $\sqrt{a-bx^n}=y$

Answer 4

$$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{a-bx^2}}$$ Sea $x=\sqrt\frac{a}{b}\sin t$ entonces $$I=\int \frac{\sqrt{a/b} \cos t!dt}{\sqrt{a/b} \sin t \sqrt{a} \cos t}.$$ $$\implies I=\frac{1}{\sqrt{a}} \int \csc t dt=\frac{1}{\sqrt{a}}\int \csc t \frac{\csc t+\cot t}{\csc t+ \cot t}dt.$$ Sea $\csc t+ \cot t=u$ $$I=\frac{1}{\sqrt{a}} \int \frac{-du}{u}=\frac{-1}{\sqrt{a}}\ln(\csc t+\cot t)=-\frac{1}{\sqrt{a}}ln\frac{1-\sqrt{1-c^2x^2}}{cx}+C,c=\sqrt{b/a}$$