Hallar la probabilidad de un suceso entre tres cuando todos ellos no pueden ocurrir a la vez

Question

DECLARACIÓN

Los tres sucesos E, F y G no pueden ocurrir simultáneamente. Además se sabe que P(E F ) = P(F G) = P(E G) = 1/3. ¿Puedes determinar P(E)?

Hice este diagrama:

$P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E \cap F) - P(E \cap G) - P(F \cap G)$

$\implies$ $P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + P(E \cap F) + P(E \cap G) + P(F \cap G)$

$\implies$

$P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + \frac 13 + \frac 13 + \frac 13$

$\implies$

$P(E) = P(E \cup F \cup G) - P(F) - P(G) + 1$

¿Y ahora qué hacemos?

Parece que este diagrama coincide mejor con la descripción del problema:

Answer 1

Este diagrama de Venn muestra una situación en la que la probabilidad de intersección mutua es cero:

En $\Pr(E\cap F) = 1/3$ deducimos que toda esta probabilidad reside en la superposición de los $E$ y $F$ discos, pero no en la superposición mutua de los tres discos. Eso nos permite actualizar el diagrama:

Aplicando el mismo razonamiento a $\Pr(F\cap G) = \Pr(E\cap G) = 1/3,$ obtenemos a Diagrama de Venn con toda la información de la pregunta:

En Axioma de probabilidad total afirma la suma de todas las probabilidades (incluida la probabilidad para el complemento de $E\cup F\cup G,$ que se muestra abajo a la izquierda) es $1.$

Un axioma de probabilidad aún más básico afirma que todas las probabilidades deben ser no negativas. Pero como $1/3+1/3+1/3+0=1,$ ya aparece toda la probabilidad posible. Las probabilidades restantes deben ser cero, lo que significa el cuadro sólo puede completarse así:

Por último, un tercer axioma (el mismo utilizado en el segundo paso de rellenar el diagrama de Venn) afirma la probabilidad de que $E$ es igual a la suma de las probabilidades de sus cuatro partes, porque son disjuntos. Así, empezando por la probabilidad central y moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del disco que retrata $E,$

$$\Pr(E) = 0 + 1/3 + 0 + 1/3 = 2/3.$$

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Una moraleja que vale la pena recordar:

Dibuja diagramas de Venn con toda generalidad para que muestren todas las intersecciones posibles de los conjuntos, incluso cuando sabes que algunas de las probabilidades son cero.

Esto te ayuda a llevar un control sistemático de toda la información. (También es conceptualmente más preciso, porque los conjuntos de probabilidad cero no tienen por qué ser no vacíos).

Answer 2

Si intentas rellenar el diagrama de Venn, no puedes poner entradas distintas de cero dentro de regiones que no estén representadas por intersecciones de pares. Formarán el espacio muestral por sí solas, lo que significa que $$\mathbb P(E)=\mathbb P(E\cap F)+\mathbb P(E\cap G)=2/3$$

Answer 3

La respuesta a la pregunta "¿Puede determinar $P(E)$ ?" es Sí.

Acontecimientos $E, F, G$ definida en un espacio muestral $\Omega$ sabemos que \begin{align} &E\cap F\cap G\\ &E\cap F\cap G^c\\ &E\cap F^c\cap G\\ &E\cap F^c\cap G^c\\ &E^c\cap F\cap G\\ &E^c\cap F\cap G^c\\ &E^c\cap F^c\cap G\\ &E^c\cap F^c\cap G^c\\ \end{align} son $8$ mutuamente excluyentes acontecimientos cuya unión es $\Omega$ . Así, el suma de las probabilidades de estos $8$ eventos es $1$ . Ahora, se nos dice que $E, F, G$ no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, $E\cap F\cap G = \emptyset$ y así $P(E\cap F\cap G) = 0$ . También se nos dice que \begin{align} P(E\cap F) &= P(E\cap F\cap G) + P(E\cap F\cap G^c) = \frac 13\\ P(E\cap G) &= P(E\cap F\cap G) + P(E\cap F^c \cap G) = \frac 13\\ P(F\cap G) &= P(E\cap F\cap G) + P(E^c\cap F \cap G) = \frac 13 \end{align} donde podemos sentirnos cómodos con la suma del medio en cada ecuación reflexionando sobre el hecho de que la probabilidad del unión de dos sucesos mutuamente excluyentes es la suma de las probabilidades de los dos sucesos. Dado que $P(E\cap F\cap G)=0$ concluimos que \begin{align}P(E\cap F) &= P(E\cap F\cap G^c) = \frac 13\\ P(E\cap G) &= P(E\cap F^c \cap G) = \frac 13\\ P(F\cap G) &= P(E^c\cap F \cap G) = \frac 13 \end{align}

Pero, de los $8$ acontecimientos mutuamente excluyentes enumerados anteriormente cuya unión es $\Omega$ hemos identificado tres sucesos cuyas probabilidades suman $1$ y así el otro $5$ eventos (uno de los cuales es $E\cap F\cap G$ ) debe tener probabilidad $0$ . En consecuencia, \begin{align} P(E) &= P(E\cap F\cap G) + P(E\cap F\cap G^c) + P(E\cap F^c\cap G) + P(E\cap F^c\cap G^c)\\ &= 0 + \frac 13 + \frac 13 + 0\\ &= \frac 23 \end{align} Por simetría (o por una repetición de fuerza bruta de los argumentos anteriores mutatis mutandis ), podemos concluir que $E, F, G$ todos tener probabiidad $\frac 23$ .

Answer 4

¿Podemos pensarlo así?

P(E ∩ F ) = P(F ∩ G) = P(E ∩ G) = 1/3

P(E ∩ F ) + P(F ∩ G) + P(E ∩ G) = 1

Lo que significa que La probabilidad de que el suceso E ocurra por sí solo es cero, lo que significa que sólo puede ocurrir con F o G y no puede ocurrir con ambos.

P(E) = P(E ∩ F ) + P(E ∩ G) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Answer 5

Desde los acontecimientos $(E,F)$ , $(E,G)$ $(F,G)$ son mutuamente excluyentes y suman uno podemos utilizar la ley de la prob total: $$ P(E) = P(E, F) + P(E, G) = \tfrac{2}{3} $$ Desde $P(E \mid E,F)P(E, F) = P(E, F)$ lo mismo para $E,G$ y $P(E \mid F, G) = 0$ .