¿Cómo puede aumentar la entropía en mecánica cuántica?

Question

Supongamos que tenemos un sistema cerrado con estados en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Cada estado puede expresarse como una suma de estados propios de energía. En un sistema cerrado, como una caja de átomos, la entropía aumentará hasta que todo el sistema se encuentre en equilibrio térmico. Sin embargo, cuando escribimos un estado como una suma de eigenestados energéticos, la evolución temporal simplemente contribuye con una fase a cada estado base. No me parece que los estados se vuelvan más "desordenados" con el tiempo, así que ¿cómo puede aumentar la entropía?

Permítanme formular mi pregunta de otra manera. Recuerdo que un profesor escribió una vez

$$S = k \log (\dim \mathcal{H})$$ en la pizarra. Ciertamente, la dimensionalidad de un espacio de Hilbert no cambia bajo la evolución del tiempo. Entonces, ¿cómo puede aumentar la entropía bajo la evolución del tiempo? ¿La ecuación anterior sólo es correcta en determinadas condiciones? Debe de haber un gran fallo en mi razonamiento/memoria.

Answer 1

En efecto, la entropía total de un sistema aislado no cambia bajo la evolución temporal de Schrodinger. Para ver esto, observe que (suponiendo por simplicidad que el Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo) la matriz de densidad del sistema satisface la ecuación de Von Neumann $\rho(t) = e^{-i H t / \hbar}\, \rho(0)\, e^{i H t / \hbar}$ Así que $\rho(t)$ y $\rho(0)$ son siempre unitariamente equivalentes y, por tanto, tienen los mismos espectros de valores propios. Por lo tanto, cualquier medida de entropía que dependa únicamente de los pesos de la matriz de densidad (que, en la práctica, son todos), es constante en el tiempo.

Pero el enredo entropía entre subsistemas puede aumentar, porque los subsistemas no están aislados. Así que si el sistema, digamos, comienza en un estado producto sin entrelazamiento espacial entre sus subsistemas, entonces genéricamente la evolución temporal de Schrodinger conducirá a un entrelazamiento creciente entre los subsistemas, por lo que el local La entropía asociada a cada pequeña parte del sistema completo aumentará de hecho, aunque la entropía total permanezca constante. Este hecho se basa en una característica muy poco clásica de la entropía de Von Neumann, que consiste en que la suma de las entropías de los subsistemas puede ser mayor que la entropía del sistema en su conjunto. (De hecho, al estudiar el entrelazamiento del estado fundamental, a menudo consideramos sistemas en los que los subsistemas tienen una entropía de entrelazamiento muy grande, pero el sistema en su conjunto está en un estado puro y, por tanto, tiene cero entropía).

Los subcampos de la "termalización de los estados propios", la "propagación del entrelazamiento" y la "localización de muchos cuerpos" -todos ellos objeto de una investigación muy activa en la actualidad- estudian las formas en que la evolución temporal de Schrodinger de diversos sistemas conduce o no a un aumento de la entropía de entrelazamiento de los subsistemas, aunque la entropía del sistema en su conjunto permanezca siempre igual.

Answer 2

Aunque tparker expresa una opinión muy extendida, yo no estoy de acuerdo. Entropía en sistemas cerrados --ya sea cuántica o clásica-- puede de hecho aumentar . Esto debería ser totalmente obvio desde una perspectiva física: imagina tener una caja cerrada de gas donde en el estado inicial todo el gas está en la esquina superior izquierda de la caja, esto claramente se homogeneizará con el tiempo, con un aumento definitivo de la entropía. Esta intuición no es diferente en el contexto cuántico, pero intentaré aclararlo más en lo que sigue.

Por supuesto, si dices $S = k \log \left( \dim \mathcal H \right)$ no puede cambiar con el tiempo. Pero eso es no necesariamente la expresión de la entropía de un sistema cerrado. En general, lo que pones en el logaritmo es el volumen del espacio de fase coherente con lo que sabes de tu sistema cerrado. Si todo lo que sabes de tu sistema es su espacio de Hilbert (análogo clásico: todo lo que sabes de una caja es su espacio de fase clásico), entonces tienes que esperar necesariamente que el sistema esté en su estado de entropía máxima total (análogo clásico: vas a suponer que el gas de la caja es homogéneo), en cuyo caso, por supuesto, nada cambiará en el tiempo.

En otros casos, sin embargo, puede que sepa más cosas sobre su sistema, por ejemplo, puede que conozca alguna distribución espacial (inicial) no homogénea (esta especificación se denomina macroestado ). Clásicamente, la entropía de ese estado es calcular el volumen $\Omega$ abarcada por todos los microestados (es decir, puntos en el espacio de fases) coherentes con el macroestado (equivalentemente se dice que las variables del macroestado particionan el espacio de fases). Tomando el logaritmo de ese número se obtiene la entropía del sistema cerrado en ese macroestado. Se trata de la conocida Entropía de Boltzmann $S = k \log \Omega$ y esto ciertamente aumenta con el tiempo en los sistemas cerrados (a menos, por supuesto, que ya hayas empezado en un estado de máxima entropía). [Es interesante observar que Entropía de Gibbs no puede aumentar para los sistemas cerrados (consecuencia del teorema de Liouville), lo que ilustra que la entropía de Boltzmann es, me atrevería a decir, mejor. Algunos dicen que la entropía de Boltzmann es un caso especial de la entropía de Gibbs, pero eso es sólo en el aburrido caso de la entropía máxima].

Lo mismo ocurre en el caso cuántico: supongamos que tenemos un sistema aislado con algún espacio de Hilbert $\mathcal H \cong \mathbb C^N$ . Supongamos que todo lo que se sabe del sistema es una lista de valores de expectativa de algunos observables. Considere el conjunto de estados $\mathcal S \subset \mathcal H$ coherente con ese conocimiento. Queremos asignar un volumen sensato $\Omega_{\mathcal S}$ de manera que podemos definir la entropía de Boltzmann como $S = k \log \Omega_{\mathcal S}$ . Si todos que conocemos es el espacio de Hilbert (es decir, tenemos una ignorancia total, tal que $\mathcal S = \mathcal H$ ), entonces es sensato definir $\Omega = \dim \left( \mathcal H \right) = N$ ya que entonces la entropía es aditiva: sumando dos sistemas desacoplados, sus espacios de Hilbert son productos tensoriales tales que sus dimensiones se multiplican y por tanto $\log \Omega$ es efectivamente aditiva. Esto concuerda con lo que escribió tu profesor. En términos más generales, si $\mathcal S$ no es más que una subregión del espacio total, asignaríamos $\Omega$ para ser la fracción correspondiente. Se puede definir de la siguiente manera: sea $\pi: \mathbb C^N \to \mathbb CP^{N-1}$ denotan la proyección sobre el espacio proyectivo de Hilbert (es decir, modulamos hacia fuera por el grado de libertad gauge), entonces tenemos ahora una variedad compacta (con una submaniferia $\pi(\mathcal S)$ ) tal que podamos asignar $$ \Omega_{\mathcal S} = N \frac{\textrm{Vol}\left( \pi(\mathcal S) \right)_{\mathbb CP^{N-1}}}{\textrm{Vol}\left( \mathbb CP^{N-1} \right)_{\mathbb CP^{N-1}}} \; .$$ De todos modos, los detalles de la definición del volumen no son tan importantes para esta discusión. La cuestión es que tenemos una entropía de Boltzmann -similar al caso clásico- y ésta se maximizará -similar al caso clásico-. Nótese que su maximización no es un concepto místico: es la afirmación obvia de que el sistema fluirá hacia el macroestado con el mayor número de microestados correspondientes.