Prueba de la desigualdad del triángulo

Question

Intuitivamente, entiendo que esto es cierto, pero me da vergüenza decir que tengo un tiempo difícil construir una prueba rigurosa que $|a+b| \leq |a|+|b|$. Cualquier ayuda se agradecería :)

Answer 1

Prueba $|x| = \max\{x,-x\}$ y $\pm x ≤ |x|$.

Después usted puede utilizar:\begin{align*} a + b &≤ |a| + b ≤ |a| + |b|,\quad\text{and}\\ -a - b &≤ |a| -b ≤ |a| + |b|. \end{align*}

Answer 2

Answer 3

Una prueba simple de la desigualdad de triángulo que es completo y fácil de entender (hay más casos que sea estrictamente necesario; sin embargo, mi objetivo es la claridad, no la concisión).

Demostrar la desigualdad de triángulo $| x | + | y| ≥ | x + y|$.

Sin pérdida de generalidad, sólo necesitamos considerar los siguientes casos:

1. $x = 0$
2. $x > 0, y > 0$
3. $x > 0, y < 0$

Caso $1$. Supongamos $x = 0$. Entonces tenemos

$| x| = 0$

$| x| + | y| = 0 + | y| = | y|$

Por lo tanto $| x| + | y| = | x + y|$.

Caso $2$. Supongamos $x > 0, y > 0$. Entonces, desde el $x + y > 0$, tenemos

$| x| = x$

$| y| = y$

$| x| + | y| = x + y$

$| x + y| = x + y$

Por lo tanto $| x| + | y| = | x + y|$.

Caso $3$. Supongamos $x < 0, y < 0$. Entonces, desde el $x + y < 0$, tenemos

$| x| = −x$

$| y| = −y$

$| x| + | y| = (−x) + (−y)$

$| x + y| = −(x + y) = (−x) + (−y)$

Por lo tanto $| x| + | y| = | x + y|$.

Caso $4$. Supongamos $x > 0, y < 0$. Entonces tenemos

$| x| = x$

$| y| = −y$

$| x| + | y| = x + (−y)$

Ahora debemos considerar tres casos:

una. $x + y = 0$

b. $x + y > 0$

c. $x + y < 0$

Caso $4a$. Supongamos $x + y = 0$. Entonces tenemos

$| x + y | = |0| = 0$

Desde $y < 0$, se deduce que el $−y > 0$ e lo $x + (−y) > 0 + (-y) = -y > 0$.

Por lo tanto, desde el $| x| + | y| = x + (−y)$, debemos tener $| x| + | y| > | x + y|$.

Caso $4b$. Supongamos $x + y > 0$. Entonces tenemos

$| x + y| = x + y$

Desde $y < 0$, se deduce que el $−y > 0 > y$ e lo $x + (−y) > x + y$.

Por lo tanto, desde el $| x| + | y| = x + (−y)$, debemos tener $| x| + | y| > | x + y|$.

Caso $4c$. Supongamos $x + y < 0$. Entonces tenemos

$| x + y| = −(x + y) = (−x) + (−y)$

Desde $x > 0$, se deduce que el $x > 0 > −x$ e lo $x + (−y) > (−x) + (−y)$.

Por lo tanto, desde el $| x| + | y| = x + (−y)$, debemos tener $| x| + | y| > | x + y|$.

Esto concluye la prueba.

Answer 4

Si una casa algebraicas argumento no sugieren sí, podemos hacer un burdo argumento de los casos, guiados por los ejemplos $a=7,b=4$, $a=-7,b=-4$, $a=7, b=-4$, y $a=-7, b=4$.

Si $a\ge 0$$b\ge 0$$|a+b|=|a|+|b|$.

Si $a\le 0$, e $b\le 0$,$|a+b|=-(a+b)=(-a)+(-b)=|a|+|b|$.

Ahora tenemos que examinar los casos donde $a$ es positiva y $b$ es negativo, o la otra manera alrededor. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que la $|b|\le |a|$.

Si $a\gt 0$,$|a+b|=|a|-|b|$. Esto es $\lt |a|$, y, en particular,$\lt |a|+|b|$.

Si $a\lt 0$, luego de nuevo a $|a+b|=|a|-|b|$.