Triple integral $\iiint_{R} z \ \mathrm{d}V$ en coordenadas esféricas

Question

El problema es encontrar $$\iiint_{R}z \ \mathrm{d}V$$ Dónde $R$ es la región $x^2+y^2\leq z \leq \sqrt{2-x^2-y^2}.$

Utilizando coordenadas cilíndricas, este problema resulta relativamente sencillo:

\begin{align} x &= r\cos(\theta)\\ y &= r\sin(\theta)\\ z &= z\\ \mathrm{d}V&=r \ \mathrm{d}z\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \end{align} con límites $$ r^2\leq z\leq \sqrt{2-r^2}, \ 0\leq\theta< 2\pi, \ 0\leq r\leq1 $$ que da $$\iiint_{R}z \ \mathrm{d}V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{\sqrt{2-r^2}}zr \ \mathrm{d}z \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta=\pi\int_{0}^{1}2r-r^{3}-r^{5} \ \mathrm{d}r = \frac{7\pi}{12}.$$

Si bien esto es correcto me gustaría saber si es posible hacer esto con coordenadas esféricas. Mi problema es que para la sustitución \begin{align}x&=R\sin(\phi) \cos(\theta)\\ y &=R\sin (\phi) \sin (\theta)\\ z&= R\cos(\phi)\\ \mathrm{d}V&= R^{2}\sin(\phi) \ \mathrm{d}R\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta\end{align} Recibo $$0\leq R\leq \sqrt{2}\ ,0\leq \theta < 2\pi$$ pero ¿cómo consigo $\phi$ ? El problema es que no encuentro $$\tan(\phi)=\frac{r}{z}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$$

Answer 1

Este problema es fácil en coordenadas esféricas si se conoce el truco. El límite superior nos da $R = \sqrt{2}$ . Resolviendo el límite inferior se obtiene

$$R\sin^2\phi = \cos\phi \implies R\cos^2\phi + \cos \phi -R = 0 $$

entonces por la ecuación cuadrática tenemos que

$$\phi = \cos^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{1+4R^2}}{2R}\right)$$

donde tomamos la raíz positiva ya que estamos por encima del $xy$ plano donde $\cos\phi > 0$ . A continuación establecemos la integral con el $\phi$ integral primero:

$$I = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\cos^{-1}\left(\frac{-1+\sqrt{1+4R^2}}{2R}\right)}R^3\cos\phi\sin\phi \:d\phi \: dR \:d\theta$$

$$ = \frac{\pi}{2} \int_0^{\sqrt{2}}R\sqrt{1+4R^2}-R\:dR = \frac{\pi}{2}\left[\frac{1}{12}(1+4R^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}R^2\right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{7\pi}{12}$$

Aunque no es tan limpio como el polinomio que aparece en la versión de coordenadas cilíndricas, es útil recordar este truco para integrales similares, ya que el integrando determinará si este método o el de coordenadas cilíndricas es la ruta óptima a seguir. Para otras integrales, como $\iiint_R dV$ Esta versión será más sencilla que la de coordenadas cilíndricas.

Answer 2

Un problema mucho menos agradable. La restricción $x^2+y^2 \le z$ se convierte en $$ \begin{split} R^2 \sin^2 \phi \cos^2 \theta + R^2 \sin^2 \phi \sin^2 \theta &\le R \cos \phi \\ R \sin^2 \phi &\le \cos \phi \\ R &\le \cot \phi \csc \phi \end{split} $$