Las inmersiones invertibles son difeomorfismos

Question

He estado pensando en esta cuestión:

Demuestre que si $i: N\rightarrow M$ es una inmersión invertible, entonces es un difeomorfismo. Dar un contraejemplo cuando $N$ no es Segundo Contable.

La primera vez que pensé en esto mi idea era tomar las coordenadas locales para cada $p$ tal que tenemos $\psi\circ i\circ \phi^{-1}(x_1,...,x_n)=(x_1,...,x_n,0,...,0).$ Ahora sin pensarlo mucho pensé que esto me tendría que dar ese $\dim M=\dim N$ y así en coordenadas locales tendríamos la identidad y así podríamos demostrar que $i^{-1}$ es un mapa suave . Ahora bien, dado que en este lugar no se utilizó el hecho de que $N$ es contable en segundo lugar se me ocurrió una prueba que utiliza este hecho , utilizando el hecho de que si $\dim N < \dim M$ entonces $i(N)$ tiene medida cero en $M$ lo que contradiría el hecho de que $i(N)=M$ . Aquí utilizamos el hecho de que $N$ es segundo contable. Pero no puedo encontrar una razón por la que mi primer argumento no funcionaría, así que cualquier ayuda con eso es apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

El problema es que a partir de la estructura local de $i$ no se puede deducir que $\dim M = \dim N$ . Sabes que localmente alrededor de un punto $p \in N$ y $i(p) \in M$ el mapa tiene el siguiente aspecto $(x_1,\dots,x_n) \mapsto (x_1,\dots,x_n,0,\dots,0)$ por lo que el punto en $M$ correspondiente a $(0,\dots,0,\varepsilon,\dots,\varepsilon)$ para algunos $\varepsilon > 0$ definitivamente no tiene una preimagen bajo $i$ en un barrio de $p$ pero a priori podría tener una preimagen alejada de $p$ .

Para comprobar que esto es posible, tomemos $N$ ser $\mathbb{R}$ con la topología discreta, $M$ ser $\mathbb{R}$ con la topología habitual y $i$ el mapa de identidad (teórico de conjuntos). El colector $N$ no es segundo contable, cero dimensional, el mapa $i$ es suave, invertible (como un mapa de conjuntos) y una inmersión (como para cualquier $p \in N$ el mapa $di|_{p} \colon T_pN \rightarrow T_pM$ es el único mapa lineal de un espacio de dimensión cero a un espacio unidimensional que es inyectivo). Sin embargo, $N$ y $M$ no son difeomorfas.