Estimación asintótica de la función vectorial

Question

Me gustaría calcular el límite asintótico de la siguiente función $$f(x,\omega) = \frac{x - \omega\sqrt{1+|x|^2}}{x\cdot \omega - \sqrt{1+|x|^2}}$$ Dónde $x\in \mathbb{R}^3$ y $\omega \in \mathbb{S}^2 = \{y\in\mathbb{R}^3 \ | \ |y| = 1\}$ es un punto de la esfera unitaria. Más concretamente, necesito estimar $||f(x,\cdot)||_{L^\infty(\mathbb{S^2)}} := \sup_{\omega\in\mathbb{S}^2}|f(x,\omega)|$ para grandes $|x|$ . Tengo la estimación aproximada

\begin{align} |f(x,\omega)| &\leq \bigg|\frac{\frac{x}{\sqrt{1+|x|^2}} - \omega}{\frac{x\cdot\omega}{\sqrt{1+|x|^2}} - 1}\bigg| \leq \frac{2}{1 - \frac{|x|}{\sqrt{1+|x|^2}}} \\ &= \frac{2\sqrt{1+|x|^2}}{\sqrt{1+|x|^2} - |x|} = \mathcal{O}(|x|^2) \end{align} como $|x|\rightarrow \infty$ . Pero me pregunto si puedo hacerlo mejor y obtener una estimación más precisa (posiblemente $\mathcal{O}(|x|)$ o incluso $\mathcal{O}(1)$ )?

Edita: Para elaborar estoy buscando una función mejor $g(|x|)$ tal que \begin{align} \sup_{(\hat{x},\omega)\in\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^2}|f(|x|\hat{x},\omega)| \leq C g(|x|) \end{align} Sospecho que algo así como lineal en $|x|$ como $g(|x|) = a|x| + b$ .

Answer 1

Sea $x=|x|\hat{x}$ y $\hat{x}=(\hat{x}\cdot\omega)\omega+\alpha\omega^\perp$ entonces $$ f(x,\omega)=\frac{x-\omega\sqrt{1+|x|^2}}{x\cdot\omega-\sqrt{1+|x|^2}}=\omega+\frac{\alpha}{\hat{x}\cdot\omega-\sqrt{(1+|x|^2)/|x|^2}}\omega^\perp$$

Por lo tanto, para $\xi=\sqrt{(1+|x|^2)/|x|^2}$ , \begin{align*}|f(x,\omega)|^2&=1+\frac{\sin^2\theta}{(\cos\theta-\xi)^2}\\ &=1+\sin^2\theta(\xi^2-2\xi\cos\theta+\cos^2\theta)^{-1}\\ &=1+\sin^2\theta\left((1-\cos\theta)^2+\frac{1-\cos\theta}{|x|^2}+O(|x|^{-4})\right)^{-1}\\ &=1+\frac{\sin^2\theta}{(1-\cos\theta)^2}\left(1-\frac{1}{(1-\cos\theta)|x|^2}+O(|x|^{-4}) \right) \end{align*}

Finalmente tomando la raíz cuadrada, $$\fbox{$ |f(x,\omega)|=\frac{1}{\sin(\theta/2)} - \frac{\sin^2\theta}{16\sin^5(\theta/2)}\frac{1}{|x|^2}+O(|x|^{-4}) $}$$

Nota: $\lim_{|x|\to\infty}|f(x,\omega)|=1/\sin(\theta/2)$ que no tiene sup cerca $\theta\to0$ .

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Editar: En $\theta=0$ es decir, $\hat{x}=\omega$ , $f(x,\omega)=1$ exactamente, sino para valores cercanos, $f$ no tiene límites.

Edición 2: Un gráfico de $|f(x,\omega)|$ y la aproximación coinciden.

Answer 2

Para $x \to \infty$ existe una muy buena aproximación $$f(x,\omega) = \frac{x - \omega\sqrt{1+|x|^2}}{x\, \omega - \sqrt{1+|x|^2}}=-1-\frac{\omega +1}{2 x^2 (\omega -1)}+\frac{\omega ^2-2 \omega -3}{8 x^4 (\omega +1)^2}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$$ Por el contrario, para $x \to -\infty$ No he encontrado nada decente.