¿Las EDP de coeficiente constante tienen núcleos de dimensión infinita?

Question

Busco exactamente lo que dice el título: una prueba de que las EDP lineales de coeficiente constante tienen espacios de solución de dimensión infinita (como subespacio de las funciones suaves). Esto debería ser sencillo, pero por alguna razón no lo veo. Obviamente, esto se deduce de la $d=2$ caso, y quería de alguna manera cambiar las variables de tal manera que termino con una sola variable (porque $d^n/dx^n$ tiene claramente un núcleo de dimensión infinita - al menos todas las funciones de sólo $y$ ), pero no sé muy bien qué significa.

Edito: Creo que debería haber algún tipo de correspondencia entre los puntos del conjunto cero del polinomio característico y las soluciones de la ecuación, pero no tengo ni idea de cómo formalizarlo.

Answer 1

Primero: Debemos descartar los operadores de orden zeroth, ya que el operador de multiplicación $\mathbf{c}: f\mapsto cf$ donde $c$ es una constante distinta de cero sólo tiene el núcleo trivial, y es técnicamente un operador diferencial parcial.

Existe un poderoso teorema en análisis (véase, por ejemplo, Hormander, Análisis de operadores diferenciales parciales lineales volumen I, Teorema 7.3.6) que establece

Todas las soluciones de $P(D)u = 0$ donde $P(D)$ es un operador diferencial parcial de coeficiente constante sobre $C^\infty(\mathbb{R}^d)$ pertenecen a los cascos lineales cerrados de las "soluciones exponenciales", es decir, soluciones de la forma $$ p(x) e^{i x\cdot \xi} $$ donde $p(x)$ es un polinomio en $x$ y $\xi\in \mathbb{C}^d$ es una frecuencia generalizada.

No utilizaremos este teorema aquí, pero su validez debe ser algo que puedas tener presente. A efectos de la presente discusión, podemos ignorar el $p(x)$ y concentrarnos únicamente en las soluciones de "onda plana" con frecuencia generalizada $\xi$ .

Nota sobre la notación: como en Hormander, tomamos $D = - i \partial$ es el operador diferencial cuya transformada de Fourier es $\xi$ . Así que $P(D)$ es formalmente un polinomio en el símbolo $D$ y puede interpretarse como el operador diferencial parcial de coeficiente constante de grado $n$ $$ P(D) = \sum_{|\beta| \leq n} a_\beta (-i)^{|\beta|} \partial^\beta $$ donde $\beta$ abarca varios índices y $a_\beta$ toman valores en $\mathbb{C}$ .

Consideremos el ansatz $u = \exp (ix\cdot \xi)$ . Entonces tenemos que $$ P(D) u = P(\xi) u $$ mediante un simple cálculo. Así vemos que $P(D)u = 0 \iff P(\xi) = 0$ .

La respuesta a su pregunta se deduce entonces del hecho de que

$\{P(\xi) = 0\}$ tiene infinitos puntos, siempre que $d > 1$ ,

que es de hecho una consecuencia (recordando que $\xi\in \mathbb{C}^d$ ) del teorema fundamental del álgebra (para cada $\xi_2, \ldots, \xi_d\in\mathbb{C}$ la ecuación $P(\xi_1, \xi_2, \ldots \xi_d)= 0$ tiene $n$ soluciones $\xi_1\in\mathbb{C}$ multiplicidad de recuento; esto también explica el caso $n = 0$ de los operadores de orden cero).

Para ser un poco más explícitos $A \subset \{P(\xi) = 0\}$ ser cualquier finito entonces para cualquier asignación $b: A \to \mathbb{C}$ la función $$ u_{b,A}(x) = \sum_{\xi\in A} b(\xi) \exp (i x\cdot \xi) $$ es una solución. Es bien sabido que las funciones de la forma $\exp(i x\cdot \xi)$ son linealmente independientes.

Tenga en cuenta, por último, que cuando $d = 1$ el teorema fundamental del álgebra sólo da $n$ soluciones a la ecuación $P(\xi) = 0$ esto es exactamente lo que esperamos en el caso de la ODE (las multiplicidades se rompen utilizando la función $p(x)$ factores que hemos descuidado).