Consistencia de la media muestral en datos de series temporales

Question

Estoy mirando la página 219 del libro "Series temporales: Teoría y Métodos" de Brockwell y Davis y parece que no puedo entender una línea. Observe que

$$\begin{align*} n\text{Var}(\bar{X}) &= \frac{1}{n} \sum_{i,j=1}^n \text{Cov}(X_i,X_j) \\ &\vdots \\ &= \sum_{|h|<n} \left(1 - \frac{|h|}{n} \right)\gamma(h)\\ &\le \sum_{|h|<n} | \gamma(h)|. \end{align*}$$

Utilizando la desigualdad dicen

Si $\gamma(n) \to 0$ como $n \to \infty$ entonces $\lim_{n \to \infty}$ $n^{-1} \sum_{|h| < n}|\gamma(h)| = 2\lim_{n \to \infty}|\gamma(n)| =$ $0$ ...

¿Por qué son iguales esos límites? Me dijeron que se podía demostrar con el teorema de Fejer porque era una suma de Cesaro, pero ¿en el libro no se menciona esto? Me pregunto si es por algo más sencillo.

Answer 1

$$\begin{align*} n^{-1} \sum_{|h| < n}|\gamma(h)| &= \frac{1}{n}\gamma(0) + \frac{2}{n}\sum_{h=1}^n|\gamma(h)|\\ &= \frac{1}{n}\gamma(0) + \frac{2}{n}\sum_{h=1}^n[h-(h-1)]|\gamma(h)|\\ &\to 0+2\lim_{h \to \infty}|\gamma(h)| \tag{*} \\ &=0. \end{align*}$$ La línea (*) se deduce del Lemma de Cesaro, es decir, si $b_n \to \infty$ y $v_n \to v_{\infty}$ entonces $b_n^{-1}\sum_{k=1}^n (b_k - b_{k-1})v_k \to v_{\infty}$ .

Answer 2

Unos años después... he aquí una solución que lo hace no implican invocar el Lemma de Cesaro. Se deduce del siguiente resultado:

Si $v_n \to \ell$ como $n \to \infty$ entonces $\bar{v} := n^{-1}\sum_i v_i \to \ell$ también.

Me acabo de encontrar con esto mientras hacía algunos ejercicios en el capítulo 2 de "Elementos de la teoría de grandes muestras" de E.L. Lehmann . Hacen la misma pregunta pero dan más orientación. Hay tres preguntas que se acumulan secuencialmente hasta el resultado anterior sobre el que pregunté en el post original.