Una pregunta sobre el producto del tensor de $\mathbb{Q}$

Question

Estoy leyendo este post de blog de $\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}$ y tengo dos preguntas sobre él:

1. ¿Es un simple tensor un tensor que no se puede escribir como una suma de tensores?

2. ¿En la primera línea, como ellos consiguieron $\frac{ad}{bd} \otimes \frac{bc}{bd} = \frac{a}{b} d \otimes b \frac{c}{d}$?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Un simple tensor es un elemento de un tensor de producto que se puede escribir en la forma x⊗y. También puede ser escrita como una suma de los tensores, pero no todas las sumas de los tensores, puede ser escrito como una sola x⊗y (en general).

La cadena de igualdades en el post del blog era incorrecta. Ellos no son iguales. Aquí es similar, pero correcto de la cadena de igualdades te pueden ser de utilidad:

$$ \frac{a}{b} \otimes \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} \otimes \frac{c}{d} = \frac{a}{bd} d \otimes c \frac{1}{d} = \frac{a}{bd} c \otimes d \frac{1}{d} = \frac{ac}{bd} \otimes 1$$

Me gustaría ser reacios a escribir $\frac{ac}{bd}(1\otimes 1)$ menos que usted está considerando la $\mathbb{Q}$ como izquierda-$\mathbb{Q}$, a la derecha-$\mathbb{Z}$ módulo.

En cualquier caso, el mapa de $q \mapsto q \otimes 1$ es un isomorfismo de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q}\otimes \mathbb{Q}$o de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q} \otimes N$para cualquier grupo abelian $\mathbb{Z} \leq N \leq \mathbb{Q}$.