Demostrando que $(Y, \| \cdot \|)$ es Banach, si $Y \subset (X,\| \cdot \|)$ está cerrado.

Question

Ejercicio :

Sea $Y$ sea un subespacio del espacio de Banach $(X, \| \cdot \|)$ . Demuestre que $(Y, \| \cdot \|)$ es Banach si $Y$ está cerrado.

Pregunta : ¿Algún consejo o sugerencia para empezar? Me veo perdido, sobre todo porque tengo problemas con las definiciones de análisis real, como que un espacio topológico es cerrado. Pero incluso así, ¿cuál sería la forma adecuada de empezar o elaborar la prueba que se pide?

Answer 1

1. Supongamos que $Y$ está cerrado. Sea $y_n$ sea una sucesión de Cauchy en $Y$ ; demuestre que converge a un miembro de $Y$ .
2. Supongamos que $Y$ no está cerrado. Hallar una sucesión de Cauchy en $Y$ que no converge a un miembro de $Y$ .

Answer 2

Basta con utilizar el hecho de que un subespacio de un espacio métrico completo es completo si y sólo si es cerrado.