Matriz hessiana para establecer la convexidad

Question

Tengo una función, $u(x_1,x_2)=\alpha \ln(x_1)+(1-\alpha)\ln(x_2)$ . donde $0<\alpha <1$

Quiero demostrar que es convexa. La matriz hessiana que he construido es:

$$ \left( \begin{array}{ccc} -\alpha/x_1^2 & 0 \\ 0 & -(1-\alpha)/x_2^2)\end{array} \right)$$

A partir de aquí descubrí que su determinante es positivo pero el submenor principal es negativo. ¿Estoy cometiendo un error tonto?

Por lo que sé, para que la función sea convexa, el hessiano tiene que ser definido positivo. Y, según mis cálculos, no lo es.

Como, con ayuda, he averiguado la respuesta correcta, la escribiré aquí:

El hessiano se calcula correctamente. La submatriz principal de primer orden es $-\alpha/x_1^2$ que en mi caso es negativo. La submatriz principal de 2º orden es el determinante del hessiano 2x2. Este valor es positivo. El hessiano es semidefinido negativo.

A través de este enlace, http://www.economics.utoronto.ca/osborne/MathTutorial/CVNF.HTM y esta cita de esa página:

• f es cóncava si y sólo si H(x) es semidefinida negativa para todo x S
• si H(x) es negativa definida para todo x S entonces f es estrictamente cóncava
• f es convexa si y sólo si H(x) es semidefinida positiva para todo x S
• si H(x) es definida positiva para todo x S entonces f es estrictamente convexa.

Llegué a la conclusión de que la función es cóncava.

Answer 1

Si $\alpha$ es real que $\alpha>0$ o $1-\alpha>0$ y si $0<\alpha<1$ entonces ambos son positivos. Si $\alpha>0$ consideremos los dos puntos $(x_1,x_2)$ y $(w_1,x_2)$ . Si $x_1$ , $w_1$ son números positivos distintos entonces tendríamos $$ u(p(x_1,x_2) + (1-p)(w_1,x_2)) > pu(x_1,x_2)+(1-p)u(w_1,x_2). $$ Si por "convexa" se entiende que se cumple la desigualdad contraria, entonces esta función no es convexa.