Supongamos que $\zeta$ es una raíz de la unidad y $f\in \mathbb{Q}[X]$ . Demuestre que $f(\zeta)\neq2^{1/4}$ .

Question

Pregunta: Supongamos que $\zeta$ es una raíz de la unidad y $f\in \mathbb{Q}[X]$ . Demuestre que $f(\zeta)\neq2^{1/4}$ .

Esto es de la UCLA otoño '16 álgebra qual. Hasta ahora no he llegado muy lejos aparte de mi observación inicial de que si suponemos que $f(\zeta)=2^{1/4}$ entonces como $\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}$ es Galois, obtenemos $g(X)=X^4-2$ se divide en $\mathbb{Q}$ y así tenemos $\mathbb{Q}(\zeta)/E/\mathbb{Q}$ donde $E$ es el campo de división de $g$ . Desde $|E:\mathbb{Q}|=2^3$ obtenemos que $2^3|\varphi(ord(\zeta))$ y esto elimina muchas posibles raíces de unidades. Sin embargo, probar el resultado general se me escapa.

Answer 1

Cada raíz de la unidad $\zeta$ genera una extensión ciclotómica $\Bbb Q(\zeta)/\Bbb Q$ con grupo de Galois abeliano. Sus subcampos son todos Galois sobre $\Bbb Q$ . Pero $\Bbb Q(2^{1/4})/\Bbb Q$ no es una extensión de Galois.