El producto de secuencias de Cauchy es Cauchy

Question

Intento refutar la siguiente afirmación: Si $(s_{n,1})$ , $(s_{n,2})$ ,..., $(s_{n,k})$ son secuencias de Cauchy, entonces la secuencia $\prod_{i=1}^{k} s_{n,i}$ también es Cauchy.

No sé muy bien qué debo hacer aquí. ¿Cómo demuestro que es cierto, o cómo invento un contraejemplo? ¿Cuál es la intuición detrás del producto de secuencias de Cauchy?

Answer 1

$ \newcommand{\seq}[1]{\left( #1_k\right)_{k \in \Bbb N}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\abs}[1]{\left| #1 \right|} $ Un buen consejo en matemáticas cuando te enfrentas a problemas de este tipo es probar con ejemplos pequeños, y ver qué consigues con eso.

Por ejemplo, pruebe $k=2$ , $k=3$ y así sucesivamente; tal vez el proceso pueda generalizarse. Mira qué pasos tienes que dar una y otra vez.

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Tomemos $k=2$ y demostrarlo.

Por lo tanto, para simplificar la notación, dejemos que $\seq a, \seq b$ sea Cauchy. Tomemos la sucesión $\seq c$ definido por $c_k := a_k b_k$ . Puesto que has etiquetado esto con "análisis real", también supondré que estás trabajando en $\Bbb R$ por lo que supondremos que las secuencias están acotadas por $M$ .

Sea $\e > 0$ . Deseamos mostrar $\exists N \in \N$ tal que, para todo $m,n \ge N$ ,

$$\abs{c_m - c_n} = \abs{a_m b_m - a_n b_n} < \e$$

Empieza sumando y restando el término $a_m b_n$ :

\begin{align*} \abs{a_m b_m - a_n b_n} &= \abs{a_m b_m + a_m b_n - a_m b_n + a_n b_n }\\ &\le \abs{ a_m b_m - a_m b_n } + \abs{ a_m b_n - a_n b_n } \\ & = \abs{a_m} \abs{b_m - b_n} + \abs{b_n} \abs{ a_m - a_n } \\ & \le M \abs{b_m - b_n} + M \abs{ a_m - a_n } \end{align*}

Desde $\seq a, \seq b$ son Cauchy, entonces $\exists N_1,N_2 \in \N$ tal que, siempre que $n,m \ge N$ ,

$$\abs{a_m - a_n} < \frac{\e}{2M} \qquad \abs{b_m -b_n} < \frac{\e}{2M}$$

Por lo tanto, si tomamos $N := \max(N_1,N_2)$ y que $n,m \ge N$ ,

$$\abs{a_m b_m - a_n b_n} \le M \abs{b_m - b_n} + M \abs{ a_m - a_n } < M \frac{\e}{2M} + M \frac{\e}{2M} = \e$$

dando como resultado que $\seq c$ es Cauchy.

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Ahora prueba esto para $k=3$ . A ver qué patrones surgen.

También se puede argumentar de forma más sencilla que, dado que $\seq a,\seq b$ Cauchy implica $\seq{a_k b}$ Cauchy, entonces -más claramente- el producto de dos secuencias Cauchy cualesquiera es Cauchy.

Así que si tomamos $\seq a, \seq b, \seq c$ que se sabe que es Cauchy, entonces el producto de $\seq{a_k b}$ y $\seq c$ es Cauchy, es decir, la secuencia $\seq{a_k b_k c}$ es Cauch (ya que cada uno individualmente lo es)y. Y así sucesivamente.