Mínimo de dos métricas es métrica

Question

Sea X un conjunto y d, e dos métricas sobre él. ¿Cómo puedo demostrar que la función f definida por f(x,y) = min(d(x,y), e(x,y)) es de nuevo una métrica? Esto me ha estado preocupando durante los últimos días, ya que parece intuitivamente cierto, pero siempre me quedo atascado tratando de demostrar la desigualdad del triángulo para f. Tal vez hay algo obvio que me estoy perdiendo.

Si los mínimos son la misma métrica el problema es fácil, pero mostrar d(x,y) + e(y,z) >= d(x,z) y los casos similares me han dejado atascado. Mi mejor intento hasta ahora ha sido intentar encontrar una contradicción suponiendo que la desigualdad es falsa:

f(x,y) + f(y,z) < f(x,z)

d(x,y) + e(y,z) < e(x,z) (un caso específico en la contradicción, específico no importante)

d(x,y) + d(y,z) + e(y,z) < e(x,z) + d(y,z)

d(x,z) + e(y,z) < e(x,z) + d(y,z) (Usando el hecho de que d es una métrica)

d(x,z) + e(y,z) - d(y,z) < e(x,z), pero e(y,z) < d(y,z) por lo que d(x,z) debería ser menor que e(x,z) lo que contradice f(x,z) = e(x,z).

Está claro que es un argumento incorrecto, pero es el mejor que tengo en este momento. ¿Alguna idea?

Answer 1

Contraejemplo : $$ d_1(x,y) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \frac{1}{100} (x_2-y_2)^2} $$

$$ d_2(x,y) = \sqrt{\frac{1}{100}(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2} $$

Así que $x=(1,0),\ y=(0,1),\ z=(0,0)$ para que $$ d(x,y)>1 > d(x,z) + d(y,z)=\frac{1}{5}$$ donde $d$ es un mínimo.

Answer 2

Como ya se ha señalado, el mínimo de dos métricas no tiene por qué ser una métrica. La mejor manera de construir ejemplos y contraejemplos de espacios métricos es utilizando el siguiente método.

Sea $X$ sea un conjunto cualquiera, $(Y,d)$ sea un espacio métrico, y $f:X\to Y$ sea una función inyectiva. Defina $d_f:X\times X\to \mathbb{R}$ como $d_f(x_1,x_2):=d(f(x_1),f(x_2))$ . Es fácil comprobar que $d_f$ es una métrica en $X$ llamémoslo la métrica inducida por $f$ .

Considere $X=\{a,b,c\}$ un juego de tres puntos. Definir $f,g:X\to \mathbb{R}$ como $f(a)=0,f(b)=1,f(c)=3$ y $g(a)=0,g(b)=2,g(c)=3$ . Sea $d_f$ y $d_g$ sea la métrica en $X$ inducida por las funciones $f$ y $g$ respectivamente, donde $\mathbb{R}$ recibe la métrica habitual. Tenemos \begin{align*} d_f(a,b)=1;\quad d_f(b,c)=2;\quad d_f(a,c)=3\\ d_g(a,b)=2;\quad d_g(b,c)=1;\quad d_g(a,c)=3. \end{align*} Por lo tanto, si definimos $d:X\times X\to \mathbb{R}$ como $d(x,y):=\min\{d_f(x,y),d_g(x,y)\}$ entonces tenemos $$d(a,b)=1;\quad d(b,c)=1;\quad d(a,c)=3.$$ Claramente $$3=d(a,c)\nleq d(a,b)+d(b,c)=2,$$ es decir, la desigualdad triangular no se cumple con $d$ por lo que no puede ser una métrica.