Presentación matricial finita de un grupo abeliano finito

Question

Sea $M$ sea un módulo sobre un anillo conmutativo y unital $R$ . Una presentación finita para $M$ es una secuencia exacta $$F\xrightarrow{\alpha} E\xrightarrow{\Phi} M\rightarrow 0,$$ donde $E$ y $F$ son libres $R$ -con bases finitas.

Una matriz de presentación para $M$ se define como una matriz de presentación para $\alpha$ con respecto a las bases de $F$ y $E$ .

En la conferencia tuvimos un ejemplo sin pruebas y no estoy seguro de por qué esto se mantiene:

Consideremos un grupo abeliano finito $G$ es decir $G$ es un $\mathbb{Z}$ -módulo. Tiene una matriz de presentación $A$ con $\det A=|G|$ .

¿Cuál es la idea para probar esto, es decir, qué puedo elegir para $F,E,\alpha,\Phi$ ?

Solución. Tenemos $G\cong\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z}$ para primos $p_i$ . Además tenemos un homomorfismo $$\Phi:\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}\rightarrow\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z},\quad (m_1,...,m_n)\mapsto ([m_1],...,[m_n]).$$

Entonces obtenemos $\ker \Phi=\bigoplus_{i=1}^np_i^{k_i}\mathbb{Z}$ . Si definimos $$\alpha:\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}\rightarrow\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z},\quad (m_1,...,m_n)\mapsto (p_1^{k_1}m_1,...,p_n^{k_n}m_n)$$ entonces obtenemos $\text{im } \alpha=\ker\Phi$ . Claramente, $\Phi$ es suryectiva, por lo que obtenemos una secuencia exacta. El determinante respectivo de la base estándar es igual a $\prod_i p_i^{k_i}=|G|$ .

Answer 1

Los componentes básicos de los grupos abelianos son los subgrupos cíclicos de orden potencia de un primo. Así que empezamos por ahí. Observa la secuencia exacta $p^nZ\rightarrow Z\rightarrow Z/p^nZ\rightarrow 0$ . Una vez que consigas esta parte sólo tienes que utilizar sumas directas repetidamente hasta que cubras todo el grupo. También tenga en cuenta que $p^nZ$ es un módulo libre. En cuanto al determinante en el caso elemental tenemos que es igual a $p^n$