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Presentación matricial finita de un grupo abeliano finito

Sea M sea un módulo sobre un anillo conmutativo y unital R . Una presentación finita para M es una secuencia exacta FαEΦM0, donde E y F son libres R -con bases finitas.

Una matriz de presentación para M se define como una matriz de presentación para α con respecto a las bases de F y E .

En la conferencia tuvimos un ejemplo sin pruebas y no estoy seguro de por qué esto se mantiene:

Consideremos un grupo abeliano finito G es decir G es un Z -módulo. Tiene una matriz de presentación A con det .

¿Cuál es la idea para probar esto, es decir, qué puedo elegir para F,E,\alpha,\Phi ?

Solución. Tenemos G\cong\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z} para primos p_i . Además tenemos un homomorfismo \Phi:\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}\rightarrow\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}/p_i^{k_i}\mathbb{Z},\quad (m_1,...,m_n)\mapsto ([m_1],...,[m_n]).

Entonces obtenemos \ker \Phi=\bigoplus_{i=1}^np_i^{k_i}\mathbb{Z} . Si definimos \alpha:\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z}\rightarrow\bigoplus_{i=1}^n\mathbb{Z},\quad (m_1,...,m_n)\mapsto (p_1^{k_1}m_1,...,p_n^{k_n}m_n) entonces obtenemos \text{im } \alpha=\ker\Phi . Claramente, \Phi es suryectiva, por lo que obtenemos una secuencia exacta. El determinante respectivo de la base estándar es igual a \prod_i p_i^{k_i}=|G| .

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Los componentes básicos de los grupos abelianos son los subgrupos cíclicos de orden potencia de un primo. Así que empezamos por ahí. Observa la secuencia exacta p^nZ\rightarrow Z\rightarrow Z/p^nZ\rightarrow 0 . Una vez que consigas esta parte sólo tienes que utilizar sumas directas repetidamente hasta que cubras todo el grupo. También tenga en cuenta que p^nZ es un módulo libre. En cuanto al determinante en el caso elemental tenemos que es igual a p^n

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