Cómo encontrar todos los números enteros positivos $a,b,c,d$ con $a\le\ b\le c$ tal que $a!+b!+c!=3^d$ ?

Question

Cómo encontrar todos los números enteros positivos $a,b,c,d$ con $a\le\ b\le c$ tal que $a!+b!+c!=3^d$ ?

Answer 1

Sea $X = a!+b!+c!$ .

• $a = 1$ de lo contrario $2 | a! \land 2| b! \land 2| c! \implies 2 | X \implies X \ne 3^d$
• $b \le 2$ de lo contrario $X \equiv 1 + 0 + 0 \equiv 1 \pmod 3 \implies X \ne 3^d$ .
• Si $b = 1$ entonces $1 \le c \le 2$ de lo contrario, $X \equiv 1 + 1 + 0 \equiv 2 \pmod 3 \implies X \ne 3^d$ .
• Si $b = 2$ entonces $2 \le c \le 5$ de lo contrario $X \equiv 1 + 2 + 0 \equiv 3 \pmod 9$ . Desde $X > 3$ en este caso, $X \ne 3^d$ una vez más.

Combinando todo esto, sólo hay 6 candidatos para $(a,b,c)$ :

$$(1,1,1), (1,1,2), (1,2,2), (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5)$$

Por fuerza bruta, se puede comprobar que tres de ellas son soluciones: $$(1,1,1) \leadsto X = 3,\quad (1,2,3) \leadsto X = 9\quad\text{ and }\quad (1,2,4) \leadsto X = 27$$

Answer 2

Sugerencia: Reduce mod 2. Si $a\geq 2$ entonces el LHS es 0 mod 2, pero el RHS es 1 mod 2.

Answer 3

Si $a\ge 5$ entonces $a!$ , $b!$ y $c!$ todas terminan con el dígito cero, por lo que también lo hace su suma. $3^d$ nunca termina en cero, por lo que estamos limitados a $a<5$ .

Esto al menos nos sirve para empezar.