Grupos finitos con cohomología periódica

Question

Estoy tratando de entender el Capítulo 12, Sección 11 de Cartan + Eilenberg del Álgebra Homológica, que se refiere a grupos finitos con el periódico cohomology. Por desgracia, yo soy saltar a la derecha a esta sección en el libro (he estado trabajando en Serre los Campos Locales, y estoy haciendo el ejercicio al final del Capítulo 8, Sección 4, que se refiere a la sección anterior en Cartan + Eilenberg), así que estoy un poco desconcertada con la notación de cambio (y cosas como el uso de $(\Pi:1)$ para el orden del grupo $\Pi$ - ¿qué hay con eso?)

Supongo que tengo dos preguntas principales.

1. ¿Cómo sabemos que, dado un grupo finito $G$ periódico cohomology, por ejemplo, con $${\widehat{H}}{}^n(G,A)\cong\!\!\!{\widehat{H}}{}^{n+q}(G,A)$$ for all $n\in\mathbb{Z}$ for some $q\in\mathbb{N}$, these isomorphisms must be given by cup-producting with a fixed element $g\en\widehat{H} {a}^q(G,\mathbb{Z})$? Esto parece ser una suposición implícita en su investigación, y aunque puede muy bien creer que es cierto (la copa-producto satisface algunas universal de los bienes, si he entendido bien), no veo cuál es la restricción de la isomorphisms de ser "accidental".

2. El hecho de que el período de $q$ es necesariamente (a menos $G$ es trivial en el que caso de $q=1$) parece muy misterioso para mí. Por supuesto, esta es la clave de propiedad para el ejercicio que estoy haciendo (la definición de una generalización de la Herbrand cociente), así que me gustaría tener una firme comprensión de por qué es verdad. Me puede más o menos seguir el razonamiento en Cartan + Eilenberg de por qué esto es cierto, pero es sólo una prueba por contradicción, haciendo un cálculo usando la taza del producto, y con el hecho de que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ha periódico cohomology incluso con período. Además, yo no soy de ver por qué taza-producting con un elemento de $\widehat{H}{}^q(G,\mathbb{Z})$ es necesariamente implicados. Así que, ¿hay alguna más intuitiva explicaciones de por qué el grupo de cohomology, si es periódica, tiene incluso el período? Hay referencias de otros de Cartan + Eilenberg puedo mirar por este hecho?

Answer 1

Como se ha dicho, ni el 1 ni el 2 es verdadera. Por ejemplo, (para $p>2$) $H^{\bullet}(\mathbb F_p;\mathbb F_p)=\mathbb F_p[\varepsilon,t]/\varepsilon^2$ ($\deg\varepsilon=1$, $\deg t=2$) - para (correspondiente Tate) cohomology de 1 periódico, pero esta periodicidad es no dada por la copa del producto (por supuesto, estos grupos son también 2-periódica, y 2-la periodicidad es dada por la copa del producto).

P. S. Uno en realidad no tiene que calcular la estructura de anillo en $H^{\bullet}(\mathbb F_p;\mathbb F_p)$ a mostrar que la periodicidad no es dado por la copa del producto: de hecho, no puede ser dada por un elemento de a $H(G;\mathbb Z)$ porque $H^1(\mathbb F_p;\mathbb Z)=0$; no puede ser, incluso, dada por la copa del producto con un elemento de $H^1(\mathbb F_p;\mathbb F_p)$ - debido a que (por supercommutativity) el cuadrado de dicho elemento debe tener un orden 2 y no hay elementos en $H^2$ (lo cual no es muy sorprendente para un espacio vectorial sobre un campo de $char\ne2$).