Distribución de $\frac{1}{X}$ si $X\sim N(0,1)$

Question

Dada una variable aleatoria $X$ que tiene una ditribución normal con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ ¿cuál es la distribución de $\frac{1}{X}$ ?

Supongo que como una distribución normal aplicando algún tipo de transformación a la media y std, pero no veo cómo proceder. ¿Alguna pista o sugerencia para ver esto?

Answer 1

Dado que la variable aleatoria $X \sim \text{N}(0,1)$ es simétrica en torno a cero, la variable aleatoria $Y = 1/X$ también será simétrica en torno a cero. Veamos su distribución en el lado positivo. Para todos los $y > 0$ que tenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(0 < Y \leqslant y) &= \mathbb{P}(X \geqslant 1/y) \\[6pt] &= 1- \mathbb{P}(X < 1/y) \\[6pt] &= 1- \Phi(1/y), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

donde $\Phi$ es la función de distribución normal estándar. Diferenciando y aplicando la regla de la cadena se obtiene la siguiente densidad sobre los valores positivos del argumento $y>0$ :

$$\begin{equation} \begin{aligned} f_Y(y) &= \frac{d}{dy} \mathbb{P}(0 < Y \leqslant y) \\[6pt] &= -\frac{d}{dy} \Phi(1/y) \\[6pt] &= \frac{1}{y^2} \cdot \text{N}(1/y|0,1) \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi} y^2} \cdot \exp \Big( - \frac{1}{2 y^2} \Big). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Utilizando la simetría de la distribución de $Y$ significa que esta misma expresión para la densidad es válida para los valores $y<0$ . Así, podemos escribir la densidad como:

$$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} y^2} \cdot \exp \Big( - \frac{1}{2 y^2} \Big) & & \text{if } y \neq 0, \\[6pt] 0 & & \text{if } y = 0. \\[6pt] \end{cases}$$

En realidad, esta distribución es bastante distinta de una distribución normal. En particular, sigue siendo simétrica, pero es bimodal . Obsérvese también que la densidad anterior es continua, ya que el valor en el argumento $y=0$ es igual al límite de la densidad por arriba y por abajo.