Para lo cual $\alpha$ hace la integral $\int\limits_2^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^{\alpha}\ln x}\mathrm{d}x$ convergen?

Question

Para qué valores de $\alpha$ d $$\int\limits_2^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^{\alpha}\ln x}\mathrm{d}x$$ convergen?

Estoy perdido aquí.

Para simplificar, vamos a denotar la integral anterior como $I_1$

Pude demostrar (aunque me di cuenta de que es un ejercicio estándar) que: $$I_2 = \int\limits_2^{+\infty}\frac{1}{(x-1)^{\alpha}\ln^{\beta} x}$$

1. $I_2$ converge para $\alpha > 1$ y $\forall\ \beta$ .

2. converge para $\alpha = 1$ y $\beta > 1$ . Para $\beta \leq 1$ diverge.

3. diverge para $\alpha < 1$ y $\forall\ \beta$ .

Así que mi estrategia fue utilizar $I_2$ para demostrar la convergencia/divergencia de $I_1$ mediante desigualdades, pero no consigo nada con esto.

Por ejemplo, hice lo siguiente:

Para $\alpha > 1$ tenemos que

$$0 < \int\limits_2^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x^{\alpha}\ln x} \leq \int\limits_2^{+\infty}\frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^{\alpha}\ln x} \mathrm{d}x$$

Es decir, para $\beta = 1$

$$0 < I_2 \leq I_1$$

De 1. sabemos que $I_2$ converge, pero esto no nos dice nada sobre la convergencia de $I_1$ .

La respuesta que da mi libro de texto es que $I_1$ converge para $\alpha < 0$ pero no sé cómo llegar a esa conclusión.

Answer 1

Sugerencia

Lo que has mostrado sobre la integral sin el factor exponencial es en realidad algo más difícil conceptualmente que la integral que nos ocupa. Si $\alpha< 0$ entonces el factor exponencial es un decaimiento exponencial que supera a cualquiera de los otros comportamientos y hará que la integral converja. Si $\alpha > 0,$ es un crecimiento exponencial que, del mismo modo, lo hará divergir. $\alpha = 0$ que ya has manejado.

Answer 2

El punto principal es que los exponenciales siempre van a dominar a los polinomios Específicamente, para cualquier $\epsilon>0$ existe una constante $C_\epsilon$ tal que $e^x\ge C_\epsilon(x-1)^\epsilon$ para todos $x\ge2$ . Esto implica que para $\alpha>0$ , $e^{\alpha x}\ge C_\epsilon^\alpha(1-x)^{\alpha\epsilon}$ por lo que elegir $\epsilon<1$ tal que $0<\alpha(1-\epsilon)<1$ encontramos $$\frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^\alpha\log x}\ge C_\epsilon^\alpha\frac1{(x-1)^{-\alpha(1-\epsilon)}\log x}$$ y así por comparación con $I_2$ ya sabes $I_1$ diverge. Del mismo modo, si $\alpha<0$ entonces $e^{\alpha x/2}\le C_2^{\alpha}(x-1)^{2\alpha}$ y por lo tanto $$\frac{e^{\alpha x}}{(x-1)^\alpha\log x}\le C_2^{\alpha/2}\frac{1}{(x-1)^{-\alpha}\log x},$$ por lo que en comparación con $I_2$ ya sabes $I_1$ converge.