Incrustación geométrica de variables aleatorias

Question

Dadas variables aleatorias centradas $X_i \in \mathbb{R}$ , $i=1,2,\ldots,n$ encontrar $x^{(i)} \in \mathbb{R}^n$ tal que $\langle x^{(i)}, x^{(j)} \rangle =E(X_i X_j) $ para todos $i,j$ .

Answer 1

Utilizaremos el siguiente hecho si $ f: \mathbb{R}^m -> \mathbb{R}^{n \times n} $ es integrable (entrywise) y $f(t)$ es semidefinida positiva para todo $t \in \mathbb{R}^m $ . Entonces $ \int_{\mathbb{R}^m } f $ es semidefinida positiva.

Sea ahora g la función de distribución multivariante sobre $ \mathbb{R}^n $ para $ X_1,X_2,..,X_n $ Entonces, para cualquier $ t \in \mathbb{R}^m $ defina $[f(t)] _{i,j} = t_i t_j$ Entonces como $f(t)= t^t t$ es semidefinida positiva. Nota $[ \int_{\mathbb{R}^m } f ]_{i,j} = E(X_i X_j) $ Entonces como $ \int_{\mathbb{R}^m } f $ es PSD puede escribirse como $ \begin{pmatrix} x^{(1)} \\ x^{(2)} \\ ... \\ x^{(n)} \end{pmatrix} $ como desee.