Demostrar que $3\sum\limits_{k=1}^n \frac{k X_k}{n^{3/2}}$ converge en la distribución, para i.i.d. $X_k$ uniforme en $[-1,1]$

Question

Sea $(X_n)$ denotan una secuencia de variables aleatorias independientes, uniformemente distribuidas en $[-1,1]$ . Queremos demostrar que $S_n=\frac{3}{n^{3/2}}\sum\limits_{k=1}^n k X_k$ converge en la distribución como $n$ tiende a infinito.

Estaba intentando calcular $F_{S_n}(x)=P(S_n\le x)=P\left(\sum\limits_{k=1}^n k X_k\le \frac13n^{3/2}x\right)$ (1).

Denote $Y_k=k X_k$ y es fácil saber que $Y_k$ se distribuye uniformemente en $[-k,k]$ .

Ahora, queremos encontrar la distribución de $\sum\limits_{k=1}^n Y_k$ y luego hallar el límite de (1).

Computé $f_{Y_k+Y_{k+1}}(z)$ que es la convolución de $f_{Y_k}$ y $f_{Y_{k+1}}$ y es igual a $\frac{z+2k+1}{2k(2k+2)}$ cuando $-2k-1\le z<-1$ , $\frac{1}{(2k+2)}$ cuando $-1\le z<1$ y $\frac{-z+2k+1}{2k(2k+2)}$ cuando $1\le z\le 2k+1$ .

Entonces, pensé que este camino puede ser tedioso, y no estoy seguro de si puedo continuar de esta manera para resolver el problema.

Me pregunto si hay alguna forma más inteligente de hacerlo. En general, cuando me enfrento a problemas sobre la convergencia en la distribución de algunas variables aleatorias específicas, suelo probar dos perspectivas:

1. Demostrar una convergencia más fuerte, como la convergencia en probabilidad o en $L^p$ .

2. Calcular la expresión exacta de la función de distribución correspondiente y tomar el límite.

Sin embargo, tengo la sensación de que me faltan algunas herramientas para demostrar la convergencia en la distribución. ¿Hay algún otro teorema, lema o método utilizado frecuentemente para demostrar la convergencia en la distribución?

Answer 1

Mi propia solución:

Consideremos la función característica de $\eta_n=\frac{3\sum\limits_{k=1}^n kX_k}{n^{3/2}}$ : $\phi_n(t)=E(e^{it\eta_n})$ . Basta con demostrar que $\phi_n$ converge a alguna función característica $\phi$ .

Desde $X_k$ son independientes, $\phi_n(t)=E(e^{it\eta_n})=\prod\limits_{k=1}^n E(e^{it\frac{3kX_k}{n^{3/2}}})$ . Tenga en cuenta que $E(e^{it\frac{3kX_k}{n^{3/2}}})=\int_{-1}^1 e^{it\frac{3kx}{n^{3/2}}}\frac{1}{2}dx=\frac{\sin(t\frac{3k}{n^{3/2}})}{t\frac{3k}{n^{3/2}}}:=1-y_k(t)$ .

Ahora queremos encontrar $\prod\limits_{k=1}^{\infty}(1-y_k(t))$ donde $|y_k|\le1$ . $\log\prod\limits_{k=1}^{n}(1-y_k(t))=\sum\limits_{k=1}^n(-y_k(t)-\frac{y_k(t)^2}{2}-\cdots)$ .

Tenga en cuenta que $\sum\limits_{k=1}^ny_k(t)=\sum\limits_{k=1}^n(1-\frac{\sin(t\frac{3k}{n^{3/2}})}{t\frac{3k}{n^{3/2}}})$ por taylor expansion, $\sum\limits_{k=1}^ny_k(t)=\sum\limits_{k=1}^n(\frac{1}{6}(t\frac{3k}{n^{3/2}})^2-\frac{1}{120}(t\frac{3k}{n^{3/2}})^4\cdots)$

El primer término es $\frac{3}{2}\frac{t^2}{n^3}\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{1}{2}t^2+O(\frac{1}{n})$ . Todos los demás términos son $O(n^s)$ para $s<0$ y lo mismo para $\sum\limits_{k=1}^ny_k(t)^2,\cdots$ .

Por lo tanto, $\log\prod\limits_{k=1}^{\infty}(1-y_k(t))=-\frac{t^2}{2}$ y $\prod\limits_{k=1}^{\infty}(1-y_k(t))=e^{-t^2/2}$ que es la función característica de una variable aleatoria gaussiana con media $0$ y desviación típica $1$ . Entonces hemos terminado.