¿Cómo convertir un producto tensorial en un producto matricial?

Question

Me gustaría hacer una operación sobre una matriz que actúa sobre un espacio vectorial producto tensorial que es un poco inusual. Es similar a un rastro parcial pero no tanto. Digamos que tengo un espacio vectorial producto tensorial $V \otimes V$ . Lo que me gustaría poder hacer, es un lineal mapa de $L(V \otimes V)$ a $L(V)$ definido a través de:

$$ A \otimes B \to AB. $$

En otras palabras, quiero convertir un producto tensorial en un producto matricial normal.

Suponiendo que Convención del producto de Kronecker para los productos tensoriales, ¿cómo puedo calcular esta operación para una matriz arbitraria $T \in L(V \otimes V)$ (así $T$ no puede escribirse necesariamente como un simple producto tensorial)?

Sé que en "terminología tensorial" se trata de una contracción de dos índices, si $T$ como un tensor de rango cuatro, no estoy seguro de cómo hacerlo realmente dada una representación de $T$ como una matriz.

Answer 1

Esto no es demasiado difícil si ya conoces la traza parcial. Recordemos que para $A \otimes B \in V \otimes V$ tenemos $$ \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \tr_1(A \otimes B) = \tr(A)B\\ \tr_2(A \otimes B) = \tr(B) A\\ \tr(A \otimes B) = \tr(A) \tr(B) $$ Por lo tanto, dada una $T \in V \otimes V$ definir $$ p(T) = \frac{\tr_2(T)\tr_1(T)}{\tr(T)} $$ Y verificar que, siempre que $T = A \otimes B$ , $p(T) = AB$ .