Transformada de similitud frente a transformada compuesta

Question

He estado intentando asimilar el concepto de transformación de similitud, pero cuanto más lo estudio, más me confundo.

Para empezar, tengamos dos sistemas de referencia 0 y 1 con una transformación homogénea $T^0_1$ que relaciona los dos fotogramas (el superíndice es el fotograma al que convertimos, por lo que $T^0_1$ toma un vector en el fotograma 1 y lo transforma en el fotograma 0).

Ahora bien, si $A$ es una transformación lineal expresada en el fotograma 0 y $B$ es la transformación similar a $A$ pero expresado en el fotograma 1, entonces $A$ y $B$ están relacionados de la siguiente manera:

$$ A=(T^0_1) B (T^0_1)^{-1} $$

Sin embargo, también he aprendido a componer transformaciones. Así que, como $B$ se expresa con respecto al fotograma 1, entonces, si lo premultiplico por $T^0_1$ obtengo una transformación equivalente (llámala $C$ ) pero relativo al fotograma 0, ¿no es así? Pero espera un segundo, ¿no debería $C$ ser nuestro $A$ ¿Arriba? Sin embargo, las dos cantidades no coinciden. Así que, por favor, dime lo que me estoy perdiendo aquí.

Answer 1

Hay que tener mucho cuidado para separar el vector de su representación en una base determinada. Además, componer transformaciones no equivale a expresar una transformación en una base distinta; de hecho, para eso sirven precisamente las transformaciones de semejanza. Así que quizás quieras saber cómo surge la transformación de semejanza.

Digamos que expresar $B$ en el fotograma 1, respecto al fotograma 0, nos da una matriz $C$ . Entonces, ¿qué propiedad debe $C$ ¿Satisfacer? Debería cumplirse que los vectores (las flechitas puntiagudas, los "entes geométricos", o lo que tú te imagines que son) se transforman independientemente del marco. Hablando coloquialmente, una longitud de 10 m debería representarse como el número 10 si se utiliza una escala de longitud 1 m, y como el número 5 si se utiliza una escala de longitud 2 m, pero el vector correspondiente a ambas representaciones es el mismo, sólo que se expresa en dos bases diferentes.

Escribiendo formalmente lo decidido anteriormente, se tiene que si se toma un vector representado en el cuadro 1 como $v$ y multiplicarla por la matriz $B$ entonces el vector que se obtiene es el mismo que el que se obtiene multiplicando la representación del vector en el fotograma 0 por la matriz $C$ . Pero, la representación del vector en el marco $0$ viene dada, en su notación, por $T_1^0 v$ .

Así es: $V(CT_1^0v) = V(Bv)$ donde $V(\cdot)$ denota el vector correspondiente a su expresión en un fotograma concreto. Pero, sabes que puedes transformar la expresión del vector transformado $CT_1^0v$ (la parte importante, y donde posiblemente te estás equivocando -- se trata de una expresión en el fotograma 0) en una expresión del vector en el fotograma 1 mediante $(T_1^0)^{-1}(CT_1^0v)$ . Pero, el vector también se expresa en el fotograma 1 como $Bv$ . Por lo tanto, estas expresiones deben ser iguales. Esto es cierto para todos los vectores, y así: $(T_1^0)^{-1}CT_1^0 = B$ .