Problema de la doble sustitución en u

Question

Tengo que encontrar $$\int\limits_{0}^{1}x(x+a)^{1/p}\text{ d}x$$ y me dicen que use dos sustituciones, $u=(x+a)^{1/p}$ y $u=x+a$ .

Sin embargo, no encuentro la derivada de $u$ , $\text{d}u$ Si alguien me puede dar una idea de lo que me estoy perdiendo? Gracias.

Answer 1

Pista: $$\int_{0}^{1}x(x+a)^{1/p}\,dx = \int_{0}^{1}(x+a)^{1+1/p}\,dx-a\int_{0}^{1}(x+a)^{1/p}\,dx$$ y: $$\int_{0}^{1}(x+a)^{\beta}\,dx = \left.\frac{(x+a)^{\beta+1}}{\beta+1}\right|_{0}^{1}=\frac{(1+a)^{\beta+1}-a^{\beta+1}}{1+\beta}.$$

Answer 2

Como han sugerido los demás, tenemos que utilizar la regla antipoder:

$$\int{x^a}dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}$$

También como se ha sugerido en el comentario, podemos utilizar $x=(x+a)-a$ para sustituir la primera $x$ :

$$\int_{0}^{1}x(x+a)^{\frac{1}{p}}dx = \int_{0}^{1}[(x+a)-a](x+a)^{\frac{1}{p}}dx$$

Esto funciona porque $(x+a)-a = x+a-a = x$ . Continuemos con la ampliación:

$$\int_{0}^{1}[(x+a)(x+a)^{\frac{1}{p}} - a(x+a)^{\frac{1}{p}}]dx$$ $$=\int_{0}^{1}(x+a)^{\frac{1}{p}+1}dx - a\int_{0}^{1}(x+a)^{\frac{1}{p}}dx$$

Ahora usamos la regla anti-poder para continuar: ( $\frac{1}{p}+1=\frac{1+p}{p}$ )

$$\int_{0}^{1}(x+a)^{\frac{1+p}{p}}dx - a\int_{0}^{1}(x+a)^{\frac{1}{p}}dx$$ $$=[(1+\frac{1+p}{p})(x+a)^{1+\frac{1+p}{p}} - a((1+\frac{1}{p})(x+a)^{1+\frac{1}{p}}]|_{0}^{1}$$ $$=\frac{1+2p}{p}(1+a)^{\frac{1+2p}{p}}-\frac{1+2p}{p}(a)^{\frac{1+2p}{p}}-a[\frac{p+1}{p}(1+a)^{\frac{p+1}{p}}-\frac{p+1}{p}(a)^{\frac{p+1}{p}}]$$ $$=\left(\frac{1}{p}+2\right)(1+a)^{\frac{1}{p}}(1+a)^2 - \left(\frac{1}{p}+1\right)(1+a)^{\frac{1}{p}}(1+a)a - \left(\frac{1}{p}+2\right)a^{\frac{1}{p}}a^2 + \left(\frac{1}{p}+1\right)a^{\frac{1}{p}}a^2$$ $$=(1+a)^{\frac{1}{p}}(1+a)^2 \left( \left(\frac{1}{p}+2\right) - \left(\frac{a}{1+a}\right) \right) - a^{\frac{1}{p}}a^2$$ $$=(1+a)^{\frac{1}{p}}(1+a)\left( \frac{1+a+2p+ap}{p} \right) - a^{\frac{1}{p}}a^2$$