Integrar sobre un círculo unitario en términos de u y v

Question

¿Cuáles deberían ser mis límites si estoy integrando sobre el primer cuadrante de $u^2+v^2=1$ ?

Answer 1

\begin{align} & \iint\limits_{\text{quarter disk}} \cdots\cdots\,d(u,v) \\[8pt] ={} & \int_0^1 \left( \int_0^{\sqrt{1-v^2}} \cdots\cdots\, du \right) \, dv \\[8pt] = {} & \int_0^1 \left( \int_0^{\sqrt{1-u^2}} \cdots\cdots\, dv \right) \, du \end{align} La cuestión es que para cualquier valor fijo de $v$ entre $-1$ y $+1,$ los valores de $u$ que mantienen la pareja $(u,v)$ dentro del cuarto de disco $u^2+v^2\le 1$ dependen del valor de $u,$ y de forma similar con las funciones de $u$ y $v$ intercambiados.

Pero si te refieres a una integral sólo a lo largo de la trayectoria que es un arco del círculo, podrías utilizar $$ \int_0^{\pi/2} \big(\text{a function of $ u=\cos\theta $ and $ v=\sin\theta $} \big) \, d\theta. $$

Answer 2

Los límites deben estar comprendidos entre $0$ y $1$ : $$A=\int_0^1 \sqrt{1-u^2} \, du$$

He aquí por qué: considerar la gama de sin

$$A=\frac{}{4}=\frac{r^2}{4}$$