Comprobar la curvatura de un nivel determinado es igual a divergencia del gradiente normalizado

Question

Supongamos que tenemos una función de $\phi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, y una curva de $\gamma:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ definido por un conjunto de nivel de $\phi$, es decir. el codominio de $\gamma$ $\{(x,y)\mid\phi(x,y)=C\}$ para un determinado constante $C$.

Edit: suponga que el $\gamma$ es parametrizada por longitud de arco, por lo $\left\|\gamma'(s)\right\|=1.$

La curvatura de $\gamma$ se define como

$$\kappa(s)\equiv\left\|T'(s)\right\|=\left\|\gamma''(s)\right\|\,\,.$$

Mostrar que también puede ser escrita como $$\kappa(s) = \left|\nabla\cdot\left(\frac{\nabla \phi}{\left|\nabla\phi\right|}\right)\right|$$ donde $\phi=\phi\left(\gamma(s)\right)$.

(Nota: no es una tarea problema. Me encontré esto mientras estás viendo un vídeo de youtube en el Nivel de Conjunto de Métodos)

Answer 1

De $\| \gamma'(s) \| = 1$, se deduce que el $$0 = \frac{d}{ds} \langle \gamma'(s),\gamma'(s) \rangle = 2\langle \gamma''(s),\gamma'(s)\rangle.$$ Por lo $\gamma'$ $\gamma''$ son perpendiculares. Suponga que $\gamma''(s) \neq 0$. Por lo tanto $N(s) := \gamma''(s)/\|\gamma''(s)\|$ localmente define una unidad normal de campo a $\gamma$. Desde $\gamma$ parametrizes un conjunto de nivel de $\phi$ $\nabla \phi$ es ortogonal a su nivel de conjuntos de ello se sigue que $\nabla \phi / \|\nabla \phi\|(\gamma(s)) = \pm N(s)$. En consecuencia $$\kappa(s) = \|\gamma''(s)\| = |\langle \gamma''(s),N(s)\rangle| = |\frac{d}{ds} \langle \gamma'(s),N(s)\rangle - \langle \gamma'(s),\frac{d}{ds}N(s)\rangle| = |\langle \gamma'(s),\frac{d}{ds} N(s)\rangle|.$$ Desde $\left\|N(s)\right\| = 1$ sigue como la de $\gamma'$ que $\langle N,\frac{dN}{ds} \rangle = 0$, lo $\frac{dN}{ds}$ es un múltiplo de a$\gamma'$$\left\|\frac{dN}{ds}\right\| = |\langle \gamma'(s),\frac{dN}{ds}\rangle|$. Así $$\kappa(s) = \left\|\frac{dN}{ds}(s)\right\| = \left\|\frac{d}{ds} \frac{\nabla \phi}{\|\nabla \phi\|}\right\|.$$ Por lo tanto queda por ver que $|\nabla \cdot N| = \left\|\frac{dN}{ds}\right\|$: Para ello se necesita el siguiente hecho: Vamos a $\{b_i\}$ ser un ortonormales base de $\mathbb R^n$. A continuación, $$\nabla \cdot X = \sum_{i = 1}^n \langle DX(b_i),b_i\rangle$$ para cualquier vectorfield $X : \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ con diferencial $DX$. Por desgracia (a través de google) no he podido encontrar una referencia para esta Edición: Uso de la geometría de Riemann de esta manera se sigue desde la divergencia se define como el seguimiento de Levi Civita conexión de $\nabla$ , $\mathbb R^n$ está dado por $\nabla_XY = DY(X)$ para campos vectoriales $X,Y$. De esto podemos ver $$\left\|\frac{dN}{ds}(s)\right\| = \langle \gamma'(s),\frac{dN}{ds}(s)\rangle = \langle \gamma'(s),DN(\gamma'(s))\rangle + \langle N(s),DN(N(s))\rangle = \nabla \cdot N(s).$$ Por $DN$ lo que significa que el diferencial de $N$ (nota de que, estrictamente hablando, esto no existe, como $N$ sólo está definida a lo largo de $\gamma$. Pero podemos extender $N$ a un vectorfield definida en un subconjunto abierto de usar $N = \pm \nabla \phi/||\nabla \phi||$ anterior). La segunda igualdad se mantiene desde $\langle N,DN(X))\rangle = 1/2\partial_X\langle N,N \rangle = 0$ para cualquier campo vectorial $X$ ($\partial_X$ denota la derivada direccional en la dirección $X$).

Tal vez estos cálculos son más complicadas de lo que podría ser, pero no veo una simplificación de inmediato.