$x^2 \equiv -2,2 \pmod {122}$

Question

Intento resolver el siguiente problema:

¿Cuál de las siguientes congruencias tiene solución? ¿Cuántas?

$$x^2 \equiv 2 \pmod {122}$$ $$x^2 \equiv -2 \pmod {122}$$

Para ambas congruencias, $122 = 2\times61$ . Por lo tanto, cada congruencia puede descomponerse en lo siguiente: $x^2 \equiv 2 \pmod 2$ y $x^2 \equiv 2 \pmod{61}$ . Para el primero, $x$ tiene una solución única $x = 0$ . para la segunda, necesito calcular $\left(\frac{2}{61}\right)$ que es $-1$ .

Ahora ¿Puedo concluir que la congruencia no tiene solución? Por lo tanto, ¿no existen soluciones?

Para el segundo problema, la congruencia $x^2 \equiv -2 \pmod {61}$ tiene solución.

¿Puedo concluir que hay una o dos soluciones?

Answer 1

Trabajemos con la congruencia $x^2 \equiv -2 \pmod {122}$ .

El anillo $\mathbb Z_{122}$ es isomorfo a $\mathbb Z_{2} \times \mathbb Z_{61}$ por el Teorema Chino del Resto, como has señalado. Ahora aplicando el isomorfismo a ambos lados, estás buscando una solución a $(x,x')^2 = (-2,-2)$ donde $x \in \mathbb Z_2$ y $x' \in \mathbb Z_{61}$ .

Si $\left(-2\over 61\right)=1$ entonces hay exactamente dos soluciones para $x^2 \equiv -2 \pmod{61}$ . El motivo es que $\mathbb Z_{61}$ es un campo, y el teorema del factor: El polinomio $X^2+2$ tiene una factorización única $(X-a)(X-b)$ donde cada una de $a$ y $b$ es una raíz del polinomio. Y las raíces deben ser distintas porque si $a$ es una raíz de ese polinomio, entonces también lo es $-a$ y el único elemento de un campo que es la negación de sí mismo es $0$ (a menos que el campo tenga la característica $2$ ).
Por otra parte, sólo hay una solución para $(x')^2 \equiv -2 \pmod 2$ . Así que multiplicando el número de valores posibles para $x$ y $x'$ da $2$ .

Con la congruencia $x^2 \equiv 2 \pmod {122}$ Utiliza la distributividad de los símbolos de Legendre. El símbolo de Legendre de $-1$ se demuestra fácilmente que es $-1$ sur $\mathbb Z_{61}$ lo que demuestra que no hay solución posible.