Sea $\Delta$ ser infinitesimal, $\hat{e}=(1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}}$ y $log_{\hat{e}}(a)=\hat{ln}(a)$ .
$$a^{\Delta}=({\hat{e}^{\Delta}})^{\hat{ln}(a)}=(1+\Delta)^{\hat{ln}(a)}$$
Considere $\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}$
$$\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}=\frac{a^{\Delta}-1}{log_a((a^{\Delta}-1)+1)}=\frac{1}{\frac{1}{a^{\Delta}-1}log_a((a^{\Delta}-1)+1)}=\frac{1}{log_a\left(({(a^{\Delta}-1)+1)}^{\frac{1}{a^{\Delta}-1}}\right)}$$
Utilizando la definición de $\hat{e}$ que es uno más un infinitésimo llevado a la potencia del recíproco del infinitésimo, la última fracción se convierte en
$$\frac{1}{log_a(\hat{e})}=\hat{ln}(a)$$
Ahora puede resolver $a^{\Delta}$
$$\frac{a^{\Delta}-1}{\Delta}=\hat{ln}(a)$$ $$a^{\Delta}-1=\hat{ln}(a)\Delta$$ $$a^{\Delta}=1+\hat{ln}(a)\Delta$$
Sustituyendo por $a^{\Delta}$ utilizando la fórmula derivada al principio de este post se obtiene $$(1+\Delta)^{\hat{ln}(a)}=1+\hat{ln}(a)\Delta$$
desde $\hat{ln}(a)$ puede ser cualquier número real (e incluso cualquier número complejo) se convierte en
$$(1+\Delta)^b=1+b\Delta$$
Sin embargo, esto es claramente falso porque
$$(1+\Delta)^2=1+2\Delta+\Delta^2$$ $$(1+\Delta)^3=1+3\Delta+3\Delta^2+\Delta^3$$ etc. Me gustaría señalar que nada de esto es en términos de límites. Todo lo que hice fue exacto incluso a escala infinitesimal. El hecho de que los límites como $\Delta$ se acerca a $0$ de los lados derechos igualan los límites como $\Delta$ se acerca a $0$ de los lados izquierdos no resuelve el problema.
Elegí las denotaciones $\hat{e}$ y $\hat{ln}$ porque $e=\lim_{x\to 0} ((1+x)^{\frac{1}{x}})$ por lo que existe una diferencia infinitesimal entre ellas que puede deducirse utilizando el teorema del binomio o la serie de Taylor para $(1+x)^{1 \over x}$ .
Estaría sumamente agradecido si alguien pudiera arrojar luz sobre este problema.
