Separabilidad de $A \subseteq X$

Question

Sea $(X, \tau)$ sea un espacio topológico separable. Sea $A \subseteq X$ . Existe un subconjunto $D \subseteq A$ tal que $D$ es denso sobre $A$ y $D$ ¿es contable?

$X$ es separable si contiene un subconjunto denso contable.

Supuse $D$ denso, y me gustaría probar $D$ no es contable.

Gracias, señor.

Answer 1

Si he entendido bien, estás preguntando si un subconjunto de un espacio separable es necesariamente separable; la respuesta es no . He aquí un ejemplo.

Sea $Y$ sea el Línea Sorgenfrey también conocidos como los reales con topología de límite inferior: el conjunto subyacente es $\Bbb R$ y los intervalos semiabiertos de la forma $[a,b)$ son la base de la topología. $Y$ es separable, porque $\Bbb Q$ es un subconjunto denso contable de $Y$ . Sea $X=Y\times Y$ El Avión Sorgenfrey con la topología del producto. $X$ también es separable, porque $\Bbb Q\times\Bbb Q$ es un subconjunto denso contable de $X$ . Ahora dejemos que $A=\{\langle x,-x\rangle:x\in\Bbb R\}$ ; $A$ es claramente incontable, y también es un subconjunto discreto de $X$ ya que para cada $x\in\Bbb R$ el conjunto $[x,x+1)\times[-x,-x+1)$ es un nbhd abierto de $\langle x,-x\rangle$ que no contenga ningún otro punto de $A$ . (Se puede comprobar fácilmente que también es un subconjunto cerrado.) Claramente $A$ no pueden ser separables.

Otro ejemplo puede construirse a partir de $\Bbb R$ de otra manera. Construimos la nueva topología como sigue. Puntos de $\Bbb Q$ están aislados. Si $x\in\Bbb R\setminus\Bbb Q$ los conjuntos de la forma $\{x\}\cup\big((a,b)\cap\Bbb Q\big)$ donde $a<x<b$ , forman una base nbhd abierta en $x$ . En otras palabras, cada racional es un punto aislado, y los nbhds básicos de un irracional consisten en ese irracional y todos los racionales en un intervalo abierto a su alrededor. Llamamos a este espacio $X$ . Los racionales son claramente densos en $X$ Así que $X$ es separable. Sin embargo, los irracionales son un subconjunto discreto cerrado incontable de $X$ por lo que el conjunto de los irracionales no es separable en $X$ .

Un espacio en el que cada subespacio es separable se dice que es hereditariamente separable todos los segundos espacios contables, y por tanto todos los espacios métricos separables, son hereditariamente separables.

Answer 2

Sí, puesto que X es separable, existe un conjunto contable, Y, que es denso en X.

¿Qué puede decir sobre $A\cap Y$ ?