¿Cómo funciona la derivación estándar de la ecuación de Bernoulli?

Question

¿Cómo funciona la derivación estándar de Ecuación de Bernoulli ¿Trabajar? Entonces, la derivación en sí (la del teorema trabajo-energía) es bastante sencilla, pero se supone que el teorema trabajo-energía se aplica a partículas, no a sistemas de partículas. E incluso si lo hiciera, ¿no deberíamos incluir también la energía potencial relacionada con la disposición de las diferentes partículas en el líquido? ¿O hay alguna razón para que no se modifique? ¿Por qué sólo utilizamos el cambio en la energía cinética y la energía potencial gravitatoria?

Otra cosa que me molesta es cómo se calcula el trabajo neto realizado $$p_1A_1v_1\cdot dt - p_2A_2v_2\cdot dt$$ Al final, sólo estamos multiplicando la fuerza en cada extremo del tubo de flujo por la distancia recorrida por los extremos del tubo de flujo, no por el desplazamiento del sistema, así que técnicamente no es el trabajo realizado sobre el sistema (al menos así lo veo yo), el trabajo realizado debería ser el producto de la fuerza y el desplazamiento del centro de masa, creo, que esto claramente no lo es. ¿Puede alguien explicarme entonces cómo es esto realmente cierto?

Answer 1

Lo que ocurre es que la derivación estándar de la ecuación de Bernoulli a menudo implica un poco de agitación de manos, omitiendo justificaciones para las suposiciones (a veces implícitas). Así que puede resultar poco convincente.

En este sentido, recomiendo encarecidamente comprobar otras derivaciones, como las de este hilo muy informativo en PhysicsForuns, cuyo punto de partida es o bien el de Euler (véase también esta pregunta ) o las ecuaciones de Navier-Stokes.

Pero ahora a sus preguntas:

se supone que el teorema trabajo-energía se aplica a partículas, no a sistemas de partículas

También se puede aplicar, por ejemplo, a un cuerpo rígido. El fluido, por supuesto, no es un cuerpo rígido, pero estamos considerando que está restringido a un streamtube y cualquier cambio relevante en la forma del elemento fluido se refleja en un cambio de velocidad y se contabiliza mediante el término cinético de la ecuación de Bernoulli.

Por eso también puede solicitar $W=F\Delta x$ en los extremos del tubo de corriente: lo que ocurre microscópicamente es complicado, pero sigue habiendo una fuerza que actúa a cierta distancia sobre una masa incompresible.

¿no debería incluirse también [...] la energía potencial relacionada con la disposición de las distintas partículas en el líquido?

Cuando sea pertinente, puede hacerse. Un ejemplo es cuando las partículas pueden ser empujadas más cerca unas de otras - cuando debemos considerar la compresibilidad. La ecuación de Bernoulli se puede generalizar a los flujos compresibles sustituyendo el término de presión por un valor apropiado de potencial de presión .

Lo que nos lleva a la última pregunta del OP:

¿Por qué sólo utilizamos el cambio en la energía cinética y la energía potencial gravitatoria?

Porque es sencillo y en muchos casos suficiente. Pero cuando no es suficiente, todo tipo de cosas pueden ser agrupados en el término presión ya que "la presión es la capacidad de un sistema cerrado de realizar trabajo cuando cambia de volumen". En cuanto al término de potencial gravitatorio, $gz$ puede sustituirse por cualquier otro potencial de masa pertinente $\Psi$ .

Answer 2

No estoy seguro de lo que quiere decir con "partícula". Si quiere decir "molécula de fluido", recuerde que la ecuación de Bernoulli se basa en el modelo de fluido continuo (para una derivación, véase, por ejemplo, Fluid dynamics de Kundu y Cohen) y no en la imagen molecular. Por lo tanto, cualquier pregunta formulada en términos de partículas de fluido es irrelevante para la ecuación de Bernoulli. La pregunta relevante entonces es "¿por qué la ecuación de Bernoulli derivada para el modelo continuo funciona para un fluido real hecho de partículas?" y la respuesta a ella es simplemente la justificación de la aplicabilidad del modelo continuum a sistemas formados por (un gran número de) partículas muy próximas entre sí, en este caso fluidos.

Pero supongo que te referías a "partícula" en el sentido en que se utiliza en la mecánica del continuo. La "disposición de las distintas partículas en el líquido" sí se tiene en cuenta. Las diferentes partículas del líquido poseen diferente energía potencial gravitatoria en virtud de su separación vertical y este término aparece en la ecuación de Bernoulli. Si estás pensando en términos de energía de interacción entre moléculas (ya dije que sería una cuestión irrelevante en el contexto de un continuo, pero entonces...) se trata de fuerzas de corto alcance que se modelan como tensiones en el fluido continuo. La ecuación de Bernoulli tiene en cuenta la presencia de tensiones normales (presión), pero se limita a flujos en los que no hay tensión de cizallamiento.

Pasando ahora a su segunda pregunta, que se refiere a por qué el término trabajo debe ser igual a $p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$ . Esta ecuación está escrita para un tubo de corriente de longitud finita para el que se puede suponer que la presión y la velocidad son uniformes en su sección transversal de entrada y salida. En esta derivación, el tubo de corriente se trata como una caja negra que ejerce presión sobre el fluido que la rodea. Ahora bien, empujar el fluido dentro o fuera del tubo de corriente a través de su entrada así como de su salida, contra la presión que prevalece allí, requiere trabajo, y esta tasa de trabajo es lo que se expresa mediante la expresión $p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$ término. El centro de masa del tubo de corriente nunca cambia en virtud de nuestra suposición de flujo incompresible (no puede haber entrada/salida neta de masa de un tubo de corriente de geometría fija).

Answer 3

La ecuación de Bernouilli es sólo una aproximación. Ignora muchos local características de los flujos de fluidos reales, incluso en el caso incompresible e invisible.

Si pensamos en la situación más simple, es decir, todas las "partículas" de fluido tienen idéntica masa y volumen, su volumen no cambia (porque el fluido es incompresible) y el flujo es constante, deberíamos ser capaces de ver que

1. La energía potencial total sumada sobre todas las partículas que entran o salen del volumen de control son las dadas en la derivación, aunque en cualquier intervalo de tiempo pequeño $dt$ las partículas individuales en la entrada y la salida son diferentes.

2. Del mismo modo, se puede calcular el trabajo neto realizado sobre cualquier partícula en particular a medida que fluye a través del volumen de control y luego sumar sobre todo el volumen. Como el trabajo realizado es constante en el tiempo para un flujo constante, tampoco importa que en un intervalo $dt$ las partículas individuales implicadas están todas en posiciones diferentes en el flujo - la suma sobre todas las partículas en el volumen es la misma.

Si el fluido es homogéneo, los mismos argumentos sirven para una mezcla de diferentes masas y tamaños de partículas (por ejemplo, la mezcla de gases en el aire) porque, en un sentido estadístico, la distribución de las partículas no cambia con el tiempo.

En el caso más general -por ejemplo, el flujo a través de una tubería helicoidal que actúa de forma similar a una centrifugadora- estas suposiciones pueden no ser cierta, y estrictamente hablando la ecuación de Bernoulli no se aplica, aunque todavía puede ser una útil aproximación en situaciones prácticas.