¿Cómo ver que un automorfismo exterior inducido no depende de la elección de la función Out-Inverse?t

Question

Un grafo marcado es un par $(G,)$ donde $G$ es un gráfico y $: R_n \to G$ es una equivalencia homotópica . $R_n$ es la Rosa con n pétalos que es isomorfa a $F_n$ el grupo libre con $n$ generadores.

Una equivalencia homotópica $: G_2 \to G_1 $ se llama Out-inverse a una equivalencia homotópica $:G_1 \to G_2$ si para cualquier vértice $u_1 \in V(G_1)$ y $u_2 \in V(G_2)$ los mapas $ \circ $ y $ \circ $ inducen el Automorfismo exterior identidad de los grupos $_1(G_1,u_1)$ y $_1(G_2,u_2)$ respectivamente.

Sea $(G,)$ sea un grafo marcado y sea $ : G \to R_n $ una equivalencia homotópica Out-inverse a $$. Then every homotopy equivalence $ f: G a G $ determines the outer automorphism $ ( \circ f \circ t)_\circledast $ of the group $ _1(R_n,\ast)= F_n $. This outer automorphism does not depend on the choice of $$ .

Mi pregunta principal es ¿por qué este automorfismo exterior no depende de la elección de $$?

Esta afirmación equivale a decir que la homotopía equivalnce $ \circ f \circ t: R_n \to R_n$ determina el automorfismo exterior $( \circ f \circ t)_\circledast$ del grupo $_1(R_n,\ast)$ ?

Answer 1

El concepto de $\sigma : G \to R_n$ siendo "una equivalencia homotópica Out-inverse a $\tau$ "es exactamente lo mismo que $\sigma$ siendo "un homotopía inversa de $\tau$ ". Dos homotopías inversas cualesquiera $\sigma_1,\sigma_2 : G \to R_n$ de $\tau$ son homotópicas entre sí. Por lo tanto $\sigma_1 \circ f \circ t$ y $\sigma_2 \circ f \circ t$ son homotópicas entre sí. Por lo tanto inducen el mismo automorfismo exterior de $\pi_1(R_n,*)$ .