El centralizador de un ciclo es el grupo generado por los elementos de $S_n$ que sean disjuntos del ciclo y del grupo generado por el ciclo.

Question

Me resulta difícil demostrar que el centralizador de un ciclo es el grupo generado por los elementos de $S_n$ que sean disjuntos del ciclo y del grupo generado por el ciclo.

Tengo claro que estos elementos están en el centralizador del ciclo, pero ¿por qué cualquier elemento del centralizador pertenece a este grupo?

Gracias.

Answer 1

Pista 1: Sea $\sigma$ sea un ciclo en $S_n$ donde $S_n$ permuta el conjunto $\{x_1,\dots, x_n\}$ . Tenemos que el centralizador $C_{S_n}(\sigma)=\{\rho\in S_n\mid \rho\sigma=\sigma\rho\}$ . Obsérvese que, por definición, cualquier potencia $\sigma^k$ de $\sigma$ es un elemento de $C_{S_n}(\sigma)$ ya que $\sigma^k\sigma=\sigma^{k+1}=\sigma\sigma^k$ . Así que consideremos $\rho\in C_{S_n}(\sigma)\setminus\langle\sigma\rangle$ donde $\langle\sigma\rangle$ es el subgrupo generado por $\sigma$ . Podemos escribir $\sigma=(s_1\dots s_m)$ para algunos $1\le m\le n$ . Para que $\rho$ para desplazarse con $\sigma$ debe enviar cada $s_i$ al mismo $x_j$ (en función de $i$ ), independientemente del lado de $\sigma$ el $\rho$ está encendida.

Pista 2: Para cualquier $\rho\in C_{S_n}(\sigma)$ tenemos $$\rho\sigma\rho^{-1}=\sigma$$ y hay un lema conveniente para conjugar permutaciones . . .