Confusión: Cuándo puedo preformar la operación de infinito en el límite (sin usar la explicación de la Definición Epsilon Delta).

Question

Pregunta 1: $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$$ Sabiendo esto: $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}$$ El denominador de la pregunta 1 es $\infty$ Por lo tanto, $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 0$

Mi confusión: ¿Por qué podríamos suponer que $\sqrt{\infty+1}+\sqrt{\infty} = \infty$ ya que no hay ninguna operación algebraica sobre inf e inf negativo? p.ej. Esta operación es errónea $\lim_{x\to\infty}x-x = \infty - \infty$

Pregunta 2: $$\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1+2^{\frac{1}{x}}}{3+2^{\frac{1}{x}}}$$ Sabiendo que $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}$ y $\frac{1+2^{\frac{1}{x}}}{3+2^{\frac{1}{x}}}$ es continua.
Utilizando este teorema

$$\frac{1+2^{\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}}}{3+2^{\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}}}$$ $$\frac{1+2^{-\infty}}{3+2^{-\infty}}$$ desde $2^{-\infty} = \frac{1}{2^{\infty}}$ Por lo tanto $$\frac{1+2^{-\infty}}{3+2^{-\infty}} = \frac{1}{3}$$

Mi confusión: ¿Por qué podríamos suponer que $2^{-\infty} = \frac{1}{2^{\infty}}$ ?

Answer 1

Suelo sustituir $-\frac{1}{M}$ para $x$ en caso de que $x\rightarrow 0^{-}$ y $\frac{1}{M}$ por si acaso $x\rightarrow 0^{+}$ y luego dejar que $M\rightarrow\infty$ . Por ejemplo,

$$ \lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1+2^{\frac{1}{x}}}{3+2^{\frac{1}{x}}}=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{1+2^{-M}}{3+2^{-M}}=\lim_{M\rightarrow\infty}\frac{2^{M}+1}{3.2^{M}+1}=\lim_{y\rightarrow\infty}\frac{y+1}{3y+1}. $$ Se reduce a un problema de límite de funciones racionales.

Answer 2

Pregunta 1:

Tenga en cuenta que en su caso tanto $\sqrt{1+x}$ y $\sqrt{x}$ tienen el mismo signo, es decir, no se obtiene nada del tipo $\infty-\infty$ .

Pregunta 2:

Tenga en cuenta que para cada $\epsilon>0$ existe algún $\delta>0$ tal que si $-\delta<x<0$ entonces $2^{\frac{1}{x}}<\epsilon=2^{\frac{1}{\delta}}$ .

Answer 3

Si estás confundido al respecto, entonces no escribas ecuaciones con $\infty$ ahí dentro. En su lugar, escriba en términos de límites:

En $x \to \infty$ que tenemos: $$ \sqrt{x} \to \infty\\ \sqrt{x+1} \to \infty\\ \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \to \infty\\ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} \to 0 . $$

Y: como $x \to 0^-$ tenemos $$ \frac{1}{x} \to -\infty\\ 2^{1/x} \to 0\\ 1+2^{1/x} \to 1\\ 3+2^{1/x} \to 3\\ \frac{1+2^{1/x}}{3+2^{1/x}} \to \frac{1}{3} $$

Si lo escribe en pasos como éste, tal vez descubra cuál de los pasos no entiende.

Sólo cuando tengas mucha experiencia haciéndolo de esta manera de varios pasos deberías empezar a escribir ecuaciones con $\infty$ ahí dentro; pero ten siempre en cuenta que lo que realmente significa son los cálculos de varios pasos. Con esa "mucha experiencia" puedes hacerlo mentalmente.

Answer 4

Para la pregunta 2: Sea $g(x) = 2^{\frac{1}{x}} and f(x) = \frac{1+x}{3+x}$
Utilizando el teorema

$$lim_{x\to0^-}f(g(x))$$ $$=lim_{x\to0^-}\frac{1+2^{\frac{1}{x}}}{3+2^{\frac{1}{x}}}$$ $$=\frac{1+lim_{x\to0^-}2^{\frac{1}{x}}}{3+lim_{x\to0^-}2^{\frac{1}{x}}}$$ $$=\frac{1+lim_{x\to0^-}\frac{1}{2^{-\frac{1}{x}}}}{3+lim_{x\to0^-}\frac{1}{2^{-\frac{1}{x}}}}$$ Desde $lim_{x\to\infty}2^{x} = \infty$ $$\frac{1+0}{3+0}=\frac{1}{3}$$