Probabilidad de subconjunto a probabilidad de elemento

Question

¿Existe alguna forma de hacer corresponder (o asignar) las probabilidades de subconjunto con las probabilidades de elemento?

Supongamos que Juan puede seleccionar subconjuntos de tamaño x de una población de N elementos. En cada subconjunto tiene exactamente x elementos. Supongamos que el subconjunto A tiene, por ejemplo, {elemento1, elemento3, elemento7} y el subconjunto B tiene {elemento2, elemento3, elemento9}.

¿Cómo puedo calcular la probabilidad de seleccionar simplemente el ítem1, el ítem2, etc.? (En el ejemplo anterior, podemos ver que el elemento3 está en ambos subconjuntos, por lo que la Pr[elemento3]=1, ¿correcto?)

Gracias por su ayuda

Answer 1

Para $i=1,\dots,N$ defina $\mathcal{S}_{i}=\left\{ A\mid A\text{ contains item }i\right\} $ .

Entonces $Pr\left[\text{item }i\right]=\sum_{A\in\mathcal{S}_{i}}Pr\left[A\right]$ .

Esto si Juan elige un subconjunto. Aquí $Pr[A]$ representa la probabilidad de que Juan elija el subconjunto $A$ .

Answer 2

Esto recuerda a la versión de Rota de la fórmula de inversión de Möbius... Aquí se da la probabilidad $P(I)$ de cada subconjunto $I$ de tamaño $n$ de algún conjunto de tamaño $N$ con $N\geqslant1$ y $0\leqslant n\leqslant N$ y se busca la probabilidad $p_i$ de cada elemento individual $i$ del conjunto.

Si $n=0$ o $n=N$ no se nos da nada, de ahí las probabilidades $p_i$ son desconocidos, excepto si $N=1$ .

En el caso no degenerado $1\leqslant n\leqslant N-1$ arreglar algunos $i$ en el conjunto y considerar la suma $$s(i)=\sum_IP(I)\,[|I|=n]\,[i\in I].$$ Entonces, $$s(i)=\sum_I\sum_jp_j\,[j\in I]\,[|I|=n]\,[i\in I]=\alpha p_i+\beta\sum_{j\ne i}p_j,$$ con $$\alpha=\sum_I[|I|=n]\,[i\in I],\qquad\beta=\sum_I[j\in I]\,[|I|=n]\,[i\in I].$$ Se ve que $$\alpha={N-1\choose n-1},\qquad\beta={N-2\choose n-2},\qquad\sum_{j\ne i}p_j=1-p_i,$$ de ahí una forma sencilla de recuperar $p_i$ de la colección $\{P(I)\mid |I|=n\}$ es considerar $$p_i=\frac{s(i)-\beta}{\alpha-\beta}.$$ Tenga en cuenta que $\alpha$ y $\beta$ dependen de $(N,n)$ y que, si $n=1$ entonces $(\alpha,\beta)=(1,0)$ que puede ayudar como confirmación... ( ¿ves por qué? ) Otro ejemplo/confirmación: si $N=4$ , $n=2$ y el conjunto es $\{1,2,3,4\}$ entonces $(\alpha,\beta)=(3,1)$ de ahí $$p_1=\frac{P(\{1,2\})+P(\{1,3\})+P(\{1,4\})-1}2.$$