Prueba que $\exists$ una función continua g tal que $|g(x)-f(x)|<\epsilon$ para todo x en un subconjunto E de (a, b) y $\mu[(a, b)-E]<\delta$

Question

Tengo problemas para comenzar con este problema. Sea f una función Lebesgue-integrable sobre un intervalo acotado (a,b). Demuestra que para cualquier $\epsilon >0$, $\delta >0$, existe una función continua g en $[a,b]$ tal que $|g(x)-f(x)|<\epsilon$ para todo x en un subconjunto E de (a,b) y $\mu[(a,b)-E]<\delta$

Me parece que esto debería mostrar que todas las funciones integrables pueden ser de alguna manera aproximadas por funciones casi en todas partes continuas. Es decir, todas las funciones integrables son continuas casi en todas partes.

Estoy teniendo dificultades para comenzar con la prueba. ¡Agradezco cualquier tipo de ayuda!

Gracias

Answer 1

La respuesta depende de lo que sepas sobre funciones integrales. Por ejemplo, puedes primero demostrar que las funciones continuas son densas en $L_1[a,b]$. Entonces, si $||f-g||_1 < \varepsilon$ entonces su diferencia no puede ser muy grande en un gran subconjunto. Por supuesto, este resultado también se sigue del teorema de Lusin que es un resultado muy estándar pero más sutil, puedes ver más información aquí.